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Semana Nº 3: Factorización - Logaritmos

FACTORIZACIÓN
Proceso inverso de la multiplicación por medio del cual una expresión algebraica racional entera es presentado como el producto de dos o más factores algebraicos.
Factor Divisor: Un polinomio no constante es factor de otro cuando lo divide exactamente, por lo cual también es llamado divisor.
Factor Primo Racional: Llamamos así a aquelpolinomio que no se puede descomponer en otros factores. Racionales dentro del mismo campo.
Ejemplo:
El proceso
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab es una multiplicación.
En cambio el proceso
x2 + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b) es una factorización
Donde:
(x + a), (x + b), son factores primos.

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
Factor Común Monomio
Consiste en extraer la parte que se repite entodos los términos para lo cual se extrae la expresión repetida, elevada a su menor exponente.

Ejemplo:
Factorizar E = 7x5y5 – 2x3y3 + x2y2
El factor común monomio será x2y2. Ahora dividiremos cada uno de los términos cada uno de los términos entre dicho factor común, para lo que queda en el polinomio. Luego de dicho proceso se tendrá:



Factor Común Polinomio
Se usa este método cuandoel polinomio posee un factor común de 2 o más términos. Por lo general, se encuentra luego de agrupar términos y bajo los siguientes criterios:

De acuerdo al número de términos
Ejemplo: si el polinomio tiene 8 términos podemos agrupar de 2 en 2 o de 4 en 4.

De acuerdo a los coeficientes de los términos:
Ejemplo:
Factorizar
E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12
Como no hay factor común monomiopodemos agrupar los 4 términos de 2 en 2 y en forma ordenada.
En cada uno de los tres grupos:
E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)

Factor Común Polinomio (x4 + y4). Ahora dividamos cada agrupación entre el factor común polinomio.



Los factores primos no se pueden descomponer en nuevos factores, tiene un único divisor que es sí mismo
Esta expresión tendrá 2 factores primos

Método de lasIdentidades
Aplicación de identidades notables para estructuras conocidas.
Recordemos los siguientes:

A) Trinomio Cuadrado Perfecto
A2  2AB + B2 = (A  B)2
OBSERVACIÓN:
El trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un binomio al cuadrado, se caracteriza porque el doble del producto de la raíz de dos de sus términos es igual al tercer término:

Todo trinomio cuadrado perfecto setransforma en binomio al cuadrado.

Ejemplo:


Luego, es T.C.P.

B) Diferencia de Cuadrados

A2 – B2 = (A + B) (A – B)
Ejemplos:
1. Factorizar: x4 – 4b2
Resolución:
Se tiene: (x2)2 – (2b)2 = (x2 + 2b) (x2 – 2b)
2. Factorizar: x2 + 2xy + y2 – z6
Resolución:
x2 + 2xy + y2 – z6  (x + y)2 – (z3)2 = (x + y + z3) (x + y – z3)
C) Suma o Diferencia de Cubos
A3  B3 = (A  B) (A2 AB +B2)
Ejemplo:
Factorizar: 27x3 – 8
Resolución:
(3x)3 – 23 = (3x - 2) (9x2 + 6x + 4)

ASPA SIMPLE
Se utiliza para factorizar expresiones trinomios o aquella que adopten esa forma: Ax2m + Bxmyn + Cy2n
Ejemplos:
Factorizar: a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab - 28
(a + b)2 + 3(a + b) – 28  (a + b + 7) (a + b – 4)ASPA DOBLE
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F
Ejemplos:
1. Factorizar:



La expresión factorizada es:
(5x + 3y – 7) (4x + 2y – 1)


2. Factorizar:



La expresión factorizada es:
(3x + 4y + 2z) (2x + 5y + 3z)

ASPA DOBLE ESPECIAL
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
Ax4 + Bx3 + Cx2 Dx + E.
Regla:
1. Se descomponeel término de mayor grado y el término independiente, se calcula la suma del product6o en aspa.
2. A la suma obtenida se le agrega la expresión que haga falta para ver el término central. La expresión agregada es la que se descompone para comprobar los otros términos del polinomio
Ejemplo:
1. Factorizar



MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS
Con éste método se busca uno o más factores...