factorizacion

Ingeniería Industrial

Modalidad Abierta y a Distancia

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE
MINATITLÁN
División de Estudios a Distancia

MATERIA: Introducción a las Matemáticas
UNIDAD: 3. Factorización

INTRODUCCIÓN
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número
compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños
(factores),(en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al
multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en
números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).
Antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando
números reales, si se consideran los números complejos sí se puede.Existen métodos de
factorización, para algunos casos especiales.
SUBTEMA: 3.1 Descomposición factorial

DESARROLLO
Un factor es una expresión algebraica que al multiplicarse por otra resulta la primera
expresión propuesta. Para hallar el factor se deben usar las siguientes reglas:
1. Transformar los números en productos de sus múltiplos, por ejemplo en el monomio:

15ab  3  5ab

15
5
13
5

2. Para localizar los términos que formaran el factor, se elijaran letra por letra. Para esto se
deben cumplir dos situaciones: que la letra se repita en todos los términos del polinomio y
que se tomara para el factor el termino mas pequeño.

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EJEMPLO 1
Factorar 10b  30ab 2Obteniendo los múltiplos:
10
5
1

2
5

30
15
5
1

2
3
5

Estos resultados se sustituyen en el polinomio

2  5  b  2  3  5ab 2
Analizando el polinomio según las reglas:
1. El numero 2 se repite.
2. El numero 5 se repite.
3. La letra b se repite y la b es mas pequeña que b2.
De manera que el factor es:

2  5  b  10b
Para encontrar el otro termino del polinomiofactorizado hay que usar este factor y
pensar en términos que al multiplicarse por el, resulten en el polinomio original. Resulta
entonces:

10b1  3a 
EJEMPLO 2
Factorar 24a 2 xy 2  36 x 2 y 4
24
12
6
3
23
1

2
2
2
3
3

36
18
9
3
22
1

2
2
3
2
 33

23  3  a 2 xy 2  2 2  32  x 2 y 4
Observando el polinomio se repite 2, 3, x e y; entonces el factor queda:

2 2 3  x  y 2  12 xy 2

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El polinomio factorizado queda:



12 xy 2 2a 2  3xy 2



SUBTEMA: 3.2 Factor común por agrupación de términos

DESARROLLO
En esta factorización se toman dos términos y se factoriza; esto mismo vuelve a repetirse en
los dos restantes. Véase e siguientepolinomio:

ax  bx  ay  by
Factor
común

Factor
común

Factorizando estos términos

xa  b  ya  b
Note que después de hacer las factorizaciones aparece otro factor común a  b  ; si
se realiza una factorización nuevamente

a  bx  y 
Véase el siguiente caso:

3abx 2  2 x 2  3aby 2  2 y 2
Factor
común

Factor
común

x 2 3ab  2  y 2 3ab  2Factorizando nuevamente

3ab  2x 2  y 2 

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SUBTEMA: 3.3 Trinomio cuadrado perfecto

DESARROLLO
Este producto notable resulta de desarrollar un binomio al cuadrado:

a  b2  a 2  2ab  c 2
Binomio al
cuadrado

Trinomio cuadrado perfecto

Por lo tanto al factorizar un trinomio alcuadrado perfecto se obtiene un binomio al
cuadrado. Para lograrlo se usaran las siguientes reglas:
1. Obtener las raíces cuadradas de cada extremo.
2. Observe el primer signo del trinomio y coloque este en medio de los términos
obtenidos anteriormente.
3. Eleve todo esto al cuadrado
EJEMPLO 1

x 2 2 x  1
x2
x

1
1

al juntar estos términos queda: x  1

2

EJEMPLO 2...