Factorizacion

¿Qué dice el Teorema de Gauss?

Que es posible encontrar una raíz de un polinomio entre los divisores de su término independiente, o entre las fracciones que se puedan formar entre los divisores de su término independiente y de su coeficiente principal.

Usamos lo que dice "Gauss" para buscar esas raíces que nos ayudarán a factorizar el polinomio. No nos hace falta saber o entender lo que sonlas raíces de un polinomio para poder factorizarlo, podemos pensar que son ciertos números que vamos a usar para dividir al polinomio por otro de la forma (x - raíz). Por ejemplo, si una raíz del polinomio es 2, vamos a dividir al polinomio por (x - 2).

¿Qué es eso de los divisores y las fracciones que se forman? ¿Cómo se buscan las raíces del polinomio según Gauss?

Para encontrar raíces,hay que buscar primero los divisores del término independiente del polinomio y luego del coeficiente principal. Por ejemplo, en el polinomio: 2x3 -3x2 - 11x + 6, el término independiente es 6, y el coeficiente principal es 2. Tengo que buscar los divisores de 6 y los divisores de 2

Divisores de 6: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6.  (En general los denominaremos con la letra "k")
Divisores de 2: 1,-1, 2, -2.  (En general los denominaremos con la letra "a")

Entonces, se pueden "buscar" raíces del polinomio, en todas las fracciones que se puedan armar entre "k" y "a", con la "k" arriba (numerador) y la "a" abajo (denominador). Es decir: un divisor de 6 arriba, y un divisor de 2 abajo. O un divisor del término independiente arriba, y un divisor del coeficiente principal abajo. Así:Posibles raíces:   [pic]

Esto puede dar un montón de combinaciones, pero muchos resultados se repiten, así que no son tantos. Además, no hace falta que primero formemos todas las fracciones posibles... Podemos probar de a una, la que se nos ocurra.

Y más fácil todavía: Podemos empezar probando solamente a los divisores del término independiente. Lo más probable es que encontremos una o más raícesen esos divisores, y con eso nos alcance para factorizar todo el polinomio, y ya no tengamos que andar pensando en ninguna fracción. Pero, ¿por qué puedo usar los divisores del término independiente? Si la teoría dice otra cosa... ¿Por qué puedo obviar al coeficiente principal?: Porque el 1 es siempre uno de los divisores del coeficiente principal, ya que el 1 es divisor de cualquier número. Y unafracción que tenga un 1 abajo, es igual al número "que está arriba". A ver, para que se entienda en nuestro ejemplo:

"k" puede ser: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6

"a" puede ser: 1, -1, 2, -2

Ahora voy a armar las fracciones [pic] con "a" = 1. Pero si a =1, [pic] es igual a "k":
1/1 = 1

-1/1 = -1

2/1 = 2

-2/1 = -2

3/1 = 3

-3/1 = -3

Y así... Todas las "k" pueden ser tomadascomo raíces, porque se las puede obtener de la fórmula [pic]  considerando que "a" es igual a 1. Así, todos los divisores del término independiente pueden ser raíces del polinomio, y no hace falta pensar en los divisores del coeficiente principal a menos que no se encuentre raíces entre los primeros.

¿Cómo seguimos? dividimos al polinomio (el que me dieron) por otro que lo divide exactamente (x– raíz). Y así, por el concepto de división, podemos decir que nuestro polinomio es igual a DIVISOR X COCIENTE, ya que el resto de la división es igual a 0.

POLINOMIO = DIVISOR X COCIENTE

Ahora ¿cómo encontramos un polinomio que divida exactamente al nuestro? Un polinomio puede ser dividido exactamente por otro de la forma (x - x1), donde "x1" es una raíz de ese polinomio


EJEMPLO 1:(Coeficiente principal igual a "1")

x4 - 15x2 + 10x + 24 = (x + 1).(x - 2).(x - 3).(x + 4)

k = 1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 8, - 8, 12, -12, 24, - 24

a = 1, -1

Posibles raíces: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 8, -8, 12, -12, 24, -24

Pruebo cuál de todas estas son realmente raíces del polinomio (recuerda que un número es raíz de un polinomio si al remplazar la variable...