Factorizacion

FACTORIZACION
Ejemplo 1
Resolvamos (3m-2n+5p)(3m-2n-5p)
Solución
Agrupemos los dos primeros términos de cada paréntesis para obtener una suma por diferencia: (3m-2n+5p) (3m-2n-5p) = [(3m-2n)+5p][(3m-2n)-5p] = (3m-2n)2-(5p)2 = 9m2 - 12mn + 4n2 - 25p2

Ejemplo 2
Efectuemos (7x-3y)(49x2+21xy+9y2)
Solución:
Tenemos el producto de un binomio por su trinomio cuadrado imperfecto. Por lo tanto:(7x-3y)(49x2+21xy+9y2) = (7x)3-(3y)3 = 343x3-27y3

Ejemplo 3
Los factores de x2 - 4 en Z son (x+2) y (x-2) ya que los coeficientes de estos polinomios son números enteros y, además, x2-4 = (x+2) (x-2).

Ejemplo 4
Los factores de x3-1 en Q son x-1 y x2+x+1 porque los coeficientes ce estos polinomios son números racionales y, además, x3-1 = (x-1)(x2+x+1)

Ejemplo 5
El polinomio 3x2 -25 es primo en Q ya que sus factores son x+5 y x-5, pero los coeficientes de estos polinomios no son números racionales.

Ejemplo 6
Factoricemos el polinomio 1-x2+2xy-y2.
Solución:
El polinomio 1-x2+2xy-y2, se factoriza así: 1-x2+2xy-y2=1-(x2-2xy+y2) agrupamos los tres últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-)
 1- x2+2xy-y2 = 1-(x-y)2 el paréntesis contiene un trinomio cuadradoperfecto
 1- x2+2xy-y2 = [1-(x-y)] (1+(x-y))diferencia de cuadrados
 1 -x2+2xy-y2 = (1-x+y) (1+x-y) quitamos paréntesis internos

Ejemplo 7
Factoricemos el polinomio xa2 -xb2 + a3 - b3.
Solución:
El polinomio xa2-xb2+a3-b3 se factoriza así:
xa2-xb2+a3-b3=(xa2-xb2)+(a3-b3) agrupación de términos
 xa2-xb2+a3-b3=x(a2-b2)+(a3-b3) factor común x
xa2-xb2+a3-b3=x(a+b)(a-b)+(a-b)(a2+ab+b2) aplicamosdiferencia de cuadrados y diferencia de cubos
xa2-xb2+a3-b3=(a-b)[x(a+b)+a2+ab+b2)factor común (a-b)
xa2-xb2+a3-b3=(a-b)[ax+bx+a2+ab+b2] suprimimos el paréntesis internos.

Ejemplo 8
Factoricemos en Z el polinomio X7-3x6+2x5
Solución
En los enteros, el polinomio x7-3x6+2x5 se factoriza así:
X7-3x6+2x5=X5(x2-3x+2) factor común x5
 x7-3x6+2x5=x5(x-2)(x-1)  x2-3x+2 es un trinomio de la formax2+bx+c

Ejemplo 9
Factoricemos en Z el polinomio 5x2+29x+20.
Solución
Este trinomio es de la forma ax2n+bxn+c y podemos factorizarlo de tres maneras: PRIMERA MANERA:
Paso1: Multiplicamos y dividimos por 5 (que es el coeficiente de x2) el trinomio dado:
5x2+29x+20 = = =
Paso2: Hagamos un cambio de variable. Sea y=5x. Por lo tanto:
5x2+29x+20 = =
Paso3: Devolvamosel cambio de variable:
Paso4: Como el factor (5x+25) tiene factor común 5, entonces:
5x2+29x+20 = (x+5)(5x+4) Por lo tanto: 5x2+29x+20 = (x+5)(5x+4)
SEGUNDA MANERA:
La gran mayoría de los trinomios con coeficientes enteros de la forma x2n+bxn+ c o ax2n+bxn+c no tiene factores con coeficientes enteros y por lo tanto son primos en Z En efecto, si a, b y c, loselegimos al azar en el conjunto Z, la probabilidad de que el polinomio no tenga factores con coeficientes enteros es mucho más grande que la probabilidad de que los tenga. Entonces vale la pena saber si un polinomio en Z es primo antes de comenzar a buscar sus factores. Con este fin, describiremos un método llamado PRUEBA CON ac PARA LA FACTORIZACIÓN, que no sólo nos indica si es posible factorizarcon coeficientes enteros los polinomios, sino que también nos ofrece una forma directa de factorizar tales trinomios en Z, cuando es posible. La prueba consiste en lo siguiente:
Paso1: Realicemos la prueba ac para la factorización: ac = (5)(20)= 100
Paso2: Encontremos dos factores de 100 que sumados den 29. Estos factores son 25 y 4. Luego escribimos el término 29x como la suma de 25x y 4x, así: 5x2+ 29x +20 = 5x2 + 25x + 4x +20
Paso3: Agrupamos convenientemente y factorizamos:
5x2+29x+20=5x2+25x+4x+20=(5x2+25x)+(4x+20)=5x(x+5)+4(x+5)=(x+5)(5x+4) Luego,5x2+29x+20= (x+5) (5x+4)
TERCERA MANERA:
La tercera manera de factorizar trinomios de la forma ax2n+bxn+c, constituye un método general para factorizar tales trinomios y se denomina COMPLETACIÓN A UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Este...