FavaAmplio

Utilizaci´
on de los N´
umeros Reales en la
Geometr´ıa y en la F´ısica
Norberto Fava, Graciela Fern´
andez y H´ector P´erez
Resumen
La utilizaci´
on de los n´
umeros reales en la Geometr´ıa y en la F´ısica tiene
su fundamento en el concepto abstracto de magnitud continua, que es el
objeto de este art´ıculo.

1. Introducci´
on. Las leyes que rigen las operaciones entre n´
umeros reales ycantidades f´ısicas –entre ´estas, las geom´etricas– suelen aceptarse sin fundamento
s´olido en los primeros a˜
nos, generalmente por falta de tiempo y de madurez. De
ello se ocupa la teor´ıa de las magnitudes continuas, que nos parece u
´til estudiar
alguna vez desde un punto de vista formal.
El ejemplo m´as representativo de una magnitud continua es la longitud. Las
longitudes pueden sumarse y compararsepor su tama˜
no, y no hay quien ignore
las propiedades de dichas operaciones que tienen su origen en experiencias concretas. El ap´endice al final del art´ıculo muestra c´omo se formaliza la noci´on de
longitud en el marco axiom´atico de los Fundamentos de Hilbert.
Otros ejemplos de magnitudes continuas son el tiempo y la masa, as´ı como
las magnitudes derivadas: ´
area, volumen, velocidad,aceleraci´
on, fuerza, presi´
on, trabajo, etc.
El art´ıculo de G. Vitali en la Colecci´on [1] se titula Sobre las aplicaciones
del Postulado de Continuidad en la Geometr´ıa Elemental. Una de ellas es la
elegante demostraci´on de la propiedad de Arqu´ımedes debida a O. Stolz (teorema 2 de este art´ıculo). El tema que nos ocupa sirve de fundamento al An´alisis
Dimensional [2, 3 y 4]. El art´ıculo deLebesgue [5] exhibe el n´
umero real desde
el punto de vista operativo que hemos adoptado aqu´ı.
En lo que sigue nos restringimos a las magnitudes que en algunos textos se
llaman magnitudes escalares positivas. Algunas demostraciones se dejan como
ejercicios. A pesar de ello no hemos podido evitar alg´
un que otro pasaje aunque
22

breve, de inocultable aridez. Los enunciados con n´
umeros romanosson los axiomas de la teor´ıa.

2.
Magnitudes continuas.
Consideremos un conjunto M =
{A, B, C, . . .} entre cuyos elementos se ha definido una ley de composici´on “+”,
llamada suma, de modo tal que se satisfacen las siguientes propiedades:

I. (asociatividad) A + (B + C) = (A + B) + C.
II. (conmutatividad) A + B = B + A.
III. Existe un elemento 0 ∈ M tal que A + 0 = A
para cualquier A.
IV. Si A +B = 0, entonces A = B = 0.
´ n. Decimos que A es menor que B e indistintamente esDefinicio
cribimos A < B o B > A, si existe L = 0 tal que B = A + L.

Inmediatamente se deducen las siguientes afirmaciones:
1o ) A = 0 equivale a A > 0; 2o ) A < B y B < C implican A < C.
V. (tricotom´ıa) Para cualquier par de elementos de M se cumple
una y s´
olo una de las relaciones A < B, A = B, A > B.
Corolario.Si A < B, entonces A + C < B + C; si A + C = B + C,
entonces A = B (ley cancelativa).
´ n. Si B < A, el u
Definicio
´nico L que satisface A = B + L se
llama diferencia entre A y B y se denota por A − B.
Se demuestra f´acilmente que las relaciones A < B < C implican

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C − B < C − A.

VI. Si A > 0, entonces existe B tal que 0 < B < A.
T´acitamente supondremos que M no es trivial, es decir, quecontiene elementos distintos de 0.
Las f´ormulas
1A = A,

(n + 1)A = nA + A,

definen de modo inductivo el producto del entero positivo n por el elemento A.
Por el mismo m´etodo inductivo se prueban las siguientes f´ormulas:
(m + n)A = mA + nA,

m(nA) = (mn)A

n(A + B) = nA + nB,

n(A − B) = nA − nB.

Notemos que estamos habilitados para escribir sin ambig¨
uedad mnA en lugar de m(nA) o (mn)A.Dejamos como ejercicio probar las siguientes afirmaciones:
(1o ) Si nA = 0, entonces A = 0;
(2o ) Si para alg´
un A = 0, mA = nA,

entonces m = n.

VII. (postulado de continuidad). Si H y K son subconjuntos no
vac´ıos de M con la propiedad de que cualquier elemento del primero
es menor que cualquiera del segundo, entonces existe B ∈ M tal que
H ≤ B ≤ K para cualquier H del primer conjunto y...