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Sobre la numerabilidad y el continuo

Carlos S. Chinea

Sobre la numerabilidad y el
continuo

Desde Cantor conocemos la diferencia entre lo que es numerable, discreto, y
lo que es continuo, denso. Conocemos que existe un número transfinito,
aleph sub cero, para describir lo que es discreto y otro número transfinito
para describir lo que es continuo. Cantor supuso que no hay otros númerostransfinitos entre ambos aleph. Hoy sabemos que también podía haber
supuesto lo contrario.
Dos conjuntos, A y B, se dicen coordinables, o biyectables, o equipolentes, o
también, de igual tamaño, si existe una aplicación biyectiva, una biyección, entre
ambos.
Definición 01
El conjunto A se dice coordinable con el conjunto B si existe una aplicación biyectiva

f :A→ B

A ≈ B ↔ ∃f : A → B ∧ f biyectivaTeorema 01
Si existiera el conjunto U de todos los conjuntos, la coordinabilidad de conjuntos
sería una relación de equivalencia en U que partiría a éste en clases de
equivalencia, estando constituida cada clase por todos los conjuntos de igual
tamaño.
Demostración:
Veamos que es reflexiva:

(∀A)(∃I A : A → A) / I A identidad → A ≈ A → reflexiva
Es simétrica:

A ≈ B ↔ ∃f : A → B ∧ f biyectiva → ∃f

−1: B → A/ f o f

−1

= IB ∧ f

−1

o f = IA →

→ f −1biyectiva → B ≈ A → simétrica
Finalmente, es transitiva:

A ≈ B ↔ ∃f : A → B ∧ f biyectiva 
 → g o f : A → C ∧ g o f biyectiva → A ≈ C →
B ≈ C ↔ ∃g : B → C ∧ g biyectiva
→ transitiva
Definición 02
Un conjunto se dice que es finito si no es coordinable con ninguno de sus
subconjuntos propios, esto es, si no existe una biyección del conjuntocon ninguna
de sus partes propias.
Un conjunto es infinito si es biyectable con alguno de sus subconjuntos propios.

Matemática, Física, Astronomía. Casanchi.com,

febrero, 2010

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Sobre la numerabilidad y el continuo

Carlos S. Chinea

Definición 03
Se dice que dos conjuntos, A y B, tienen el mismo numero cardinal si
biyectables.
Representaremos
por card(A).

son

en adelante el número cardinalcorrespondiente al conjunto A

card ( A) = card ( B ) ↔ A ≈ B

En el sentido del teorema 01, podría decirse que las clases de equivalencia de la
relación de coordinabilidad tienen igual número cardinal.
Los números cardinales de los conjuntos finitos se llaman, simplemente, números
finitos, y los números cardinales de los conjuntos infinitos se denominan números
transfinitos.

Teorema 02:
Lacondición necesaria y suficiente para que el cardinal de un conjunto A sea
estrictamente menor que el cardinal de otro conjunto B es que no existan
aplicaciones sobreyectivas de A en B.

card(A) Demostración:
Obviamente, pues si elegimos f inyectiva, se tiene que al no ser sobreyectiva, no
será tampoco biyectiva, por lo que A será coordinable con una parte estrictade B, o
sea, card(A)
Teorema 03: (Teorema de Cantor)
Para cualquier conjunto se verifica que su cardinal es inferior estrictamente al de su
conjunto potencia (conjunto de sus partes):

(∀A)(card ( A) < card ( P( A))
Demostración:
Bastará probar que no existe nunca una aplicación sobreyectiva f : A → p ( A) , por
lo que, en virtud del teorema anterior, el cardinal de A es estrictamenteinferior al
cardinal de p(A).
Veámoslo por reducción al absurdo:
Supongamos que f es sobreyectiva, es decir, que ∀B ∈ p ( A), ∃b ∈ A / f (b) = B y
veamos que entonces se da una contradicción para una cierta parte B de A.
Elijamos como conjunto B aquella parte de A formada por lo elementos cuya
imagen por f no los contiene, es decir, por aquellos elementos a los que
corresponde una parte, elementode p(A), a la cual no pertenecen:

B = {x ∈ A / x ∉ f ( x)}

En definitiva nos encontramos, por ser sobreyectiva que

∃b ∈ A / f (b) = B . Veamos

que, entonces, el elemento b no puede pertenecer a B porque sería contradictorio,
ni tampoco puede no pertenecer a B porque también sería contradictorio:
1) b ∈ B → b ∈ B ∧ f (b) = B → b ∈ f (b) ∧ B = {x ∈ A / x ∉ f ( x )} → b ∉ B → contradic
2) b ∉ B...

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