Formulario Calculo Vectorial

Formulario De Calculo Vectorial
Máximos y Mínimos
Localización de los puntos críticos para funciones de dos o más variables
Para localizar los puntos críticos es necesario realizar las derivadas parciales con respecto a cada
una de las variables e igualarlas a cero y buscar que valores necesitan tomar las variables para
cumplir con esa condición. La función tiene todas sus variables elevadasa la potencia uno no hay
mayor problema puesto que la función sólo tendrá un punto crítico. Pero si la función tiene una o
más variables elevadas a una potencia mayor a uno será necesario obtener los valores que hagan
cero cada derivada parcial, los valores obtenidos en cada derivada parcial nos dan una
componente de las coordenadas los puntos críticos, y para obtener las demás componentes esnecesario substituir los valores que hayamos obtenido en cada derivada parcial que tengamos
igualada a cero, ésta se realizarán con los valores obtenidos en todas las derivadas parciales.
Criterio de la Segunda Derivada para Dos Variables
Si
tiene derivadas continuas hasta el tercer orden y si (Xo, Yo) es un punto crítico de ,
definimos el determinante:
[

][

]

[

]

En formaMatricial
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|

Multiplicadores De Lagrange
Para una función con restricciones

Función de Lagrange
Esta función es una función que incluye al multiplicador de Lagrange (ecuación de la restricción)
como variable de la misma ecuación, también es llamada función complementaria.

Formulario De Calculo Vectorial
Regla Mnemotécnica: “Función objetivo más landa por la función restricción”Donde es el multiplicador de Lagrange y
serán las soluciones al sistema de ecuaciones

es la función restricción. Los puntos críticos

Criterio de la Segunda Derivada para más de dos Variables
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De donde

Funciones Vectoriales De Variable Vectorial
∫ √[

][

][

]

∫

√(

√
̅
̅
̅

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̅
|

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|̅|

̅
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|

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̅
|

̅

̅

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̅̅|

)

(

)

(

)

Formulario De Calculo Vectorial
̅
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̅

̅

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̅

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̅|

̅|
|̅|

̅

̅
|̅

̅
̅|

Gradiente, Divergencia, Rotacional y Laplaciano
Para denotar estas cuatro operaciones se usa el operador vectorial nabla cuyo símbolo es
Y se puede expresar como
̂

̂
̂

(

)

El gradiente es un vector normal a una superficie e indica ladirección de la máxima derivada
direccional y su valor equivale al módulo del gradiente Su expresión generalizada para un espacio
de n dimensiones es
̂

̂

̂

Sea el campo Vectorial
̂

̂
̂

El gradiente generalizado o matriz jacobiana del campo será

[

]

La divergencia de este campo será la suma de los elementos de su diagonal principal, es decir:

Formulario De Calculo VectorialSi

es positiva en el entorno del punto P, se le llamara fuente, surgente o manantial. Si
es negativa en el entorno P, se le llamara punto sumidero. Si en una región no hay
manantiales ni sumideros, es decir
se dice que F es un campo Solenoidal.
El rotacional de este campo vectorial será igual a las diferencias de los elementos situados
simétricamente respecto a la diagonal principal,es decir:
(

)̂

(

)̂

Cuando el rotacional de un campo es igual con cero es decir
un campo irrotacional.

)̂

(

, entonces se dice que es

Retomando la matriz Hessiana
[

El laplaciano de
símbolo

]

es la suma de las componentes de la diagonal principal, y se denotara con el

[

]

Cuando el laplaciano es igualado a cero se da lugar a la ecuación de Laplace:Si la función

satisface esta ecuación se le llamara función armónica.

Coordenadas Curvilíneas
Sea la Transformación
{

Formulario De Calculo Vectorial
̅
̅
̅
̅

|

̅

|

̅
̅

|

̅

|

̅

̅

̅

|

|

̅

̅

̅
̅

|(

̅

̅

̅

̅

̅

)|

Transformación Inversa
Sea la Transformación Inversa
{
̅̅̅̅

̅̅
̅̅

|̅̅̅̅|

̅̅̅̅

̅̅
|̅̅...