Formulario de algebra

Formulario de Prec´lculo. a
1. Los N´ meros. u
m n m+n n

5. Leyes de los logaritmos. a) loga (P Q) = loga (P ) + loga (Q) b) loga P Q = loga (P ) − loga (Q)

1. Leyes de los exponentes y radicales. a) a a = a d) a b
n

c) loga (Qn ) = n loga (Q)
n n n

b) (a ) = a
m

m n

mn

c) (ab) = a b f ) a−n = i) am/n l)
m

d ) aloga (x) = x e) loga (ax ) = x f ) loga (1) = 0 g) aloga(a) = 1 h) log(x) = log10 (x) i) ln(x) = loge (x)

g) a1/n j)

a bn √ = na =

√ √ √ n n ab = n a b

a = am−n an √ h) am/n = n am √ n a a k) n = √ n b b e)

1 an √ m = ( n a)
mn

√ n

a=

√ a

2. Productos Notables. a) Binomios Conjugados: (x + y)(x − y) = x − y
2 2 2 2 2

b) Binomio al Cuadrado: (x ± y) = x ± 2xy + y
2

j ) Cambio de base:

loga (Q) =

logb (Q) logb(a)

d ) (x + y) = x2 + 2 xy + y 2 e) (x − y) = x2 − 2 xy + y 2
3 3 2

c) Binomio al Cubo: (x ± y)3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 2 ± y 3

2. Soluciones Exactas de ecuaciones Algebraicas
6. Soluciones Exactas de Ecuaciones Algebraicas. a) La Ecuaci´n Cuadr´tica: ax2 + bx + c = 0 tiene o a soluciones: √ −b ± b2 − 4ac x= 2a 2 El n´ mero b −4ac se llama discriminante de la ecuau ci´n. o i) Si b2 − 4ac >0 las ra´ son reales y diferentes. ıces ii) Si b2 − 4ac = 0 las ra´ son reales e iguales. ıces iii) Si b2 − 4ac < 0 las ra´ son complejas conjugaıces das. b) Para la Ecuaci´n C´ bica: x3 + ax2 + bx + c = 0 o u sean: Q= S=
3

f ) (x + y) = x3 + 3 x2 y + 3 xy 2 + y 3
4

h) (x + y) = x4 + 4 x3 y + 6 x2 y 2 + 4 xy 3 + y 4 j ) (x + y) = x5 + 5 x4 y + 10 x3y 2 + 10 x2y 3 + 5 xy 4 + y 5 k ) (x −y)5 = x5 − 5 x4 y + 10 x3y 2 − 10 x2y 3 + 5 xy 4 − y 5 3. Teorema del Binomio. Sea n ∈ N, entonces:
n

g) (x − y) = x3 − 3 x2 y + 3 xy 2 − y 3

i) (x − y)4 = x4 − 4 x3 y + 6 x2 y 2 − 4 xy 3 + y 4
5

(x + y)n =
r=0

n n−r r x y r

Nota:

n r

= n Cr =

n! r!(n − r)!

4. Factores Notables. a) Diferencia de Cuadrados: x2 − y 2 = (x + y)(x − y) b) Suma de Cubos: x3 + y 3 = (x +y)(x2 − xy + y 2 )
3 3 2

3b − a2 , 9

R=

9ab − 27c − 2a3 54 T =
3

R+

Q3 + R 2 ,

d ) Trinomio Cuadrado Perfecto: x2 ±2xy+y 2 = (x±y)2 e) x − y = (x − y) (x + y)
3 3 2 2 2

c) Diferencia de Cubos: x − y = (x − y)(x + xy + y )

2

h) x − y = (x − y) (x + y) x + y

g) x3 + y 3 = (x + y) x2 − xy + y 2
4 4 2

f ) x − y = (x − y) x + xy + y

2

Entonces las soluciones son:a x1 =S + T − 3 S+T a + + x2 = − 2 3 x3 = − S+T a + 2 3 −

R−

Q3 + R 2

2

√ (S − T ) 3 2 √ (S − T ) 3 2

i i

k ) x6 −y 6 = (x − y) (x + y) x2 + xy + y 2 l ) x4 + x2 y 2 + y 4 = x2 + xy + y 2 m) x4 + 4 y 4 = x2 − 2 xy + 2 y 2

j ) x5 + y 5 = (x + y) x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4

i) x5 − y 5 = (x − y) x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4 x2 − xy + y 2

x2 + 2 xy + 2 y 2 1

x2 −xy + y 2

El n´ mero Q3 +R2 se llama discriminante de la ecuau ci´n. o i) Si Q3 + R2 > 0, hay una ra´ real y dos son comız plejas conjugadas. ii) Si Q3 + R2 = 0, las ra´ son reales y por lo meıces nos dos son iguales. iii) Si Q3 + R2 < 0, las ra´ son reales y diferentes. ıces

3.
3.1.

Funciones Trigonom´tricas. e
Relaciones nom´tricas. e
csc(A) = 1 sen(A)

cos3 (A) =

3 4

cos(A)+

1 4

cos(3A)

entre

Funciones

3 1 1 4 Trigo- sen (A) = 8 − 2 cos(2A) + 8 cos(4A)

cos4 (A) = sen2 (A) + cos2 (A) = 1 sen5 (A) = cos5 (A) = sec (A) − tan (A) = 1 csc2 (A) − cot2 (A) = 1
2 2

3 8 5 8 5 8

+

1 2

cos(2A) +
5 16 5 16

1 8

cos(4A)
1 16 1 16

sen(A) − cos(A) +

sen(3A) + cos(3A) +

sen(5A) cos(5A)

1 sec(A) = cos(A) tan(A) = sen(A) cos(A)3.3.

Suma, Diferencia y Producto las Funciones Trigonom´tricas. e
A+B 2 A−B 2 A+B 2 A+B 2

sen(A) + sen(B) = 2 sen sen(A) − sen(B) = 2 sen cos(A) + cos(B) = 2 cos cos(A) − cos(B) = 2 sen sen(A) sen(B) =
1 2 1 2 1 2

cos cos cos sen

A−B 2 A+B 2 A−B 2 B−A 2

cos(A) 1 = cot(A) = sen(A) tan(A)

3.2.
2

Potencias de Funciones Trigonom´tricas. e
1 2 1 2 3 4

sen (A) = cos2 (A) =...