Formulario de derivadas

2.8. Función inversa, logarítmica y función trigonométrica inversa.
Función logarítmica:

Sea a un número real positivo diferente de 1. El logaritmo de x con base a se define como:
y=〖log〗_a (x) si y solo si x=a^y
para todo x>0 y todo número real y.

Las dos ecuaciones de la definición son equivalentes. La primera se llama forma logarítmica y la segunda, forma exponencial. Debesesforzarte en dominar la conversión de una en otra. El diagrama siguiente puede ayudarte a alcanzar esta meta.
Forma logarítmica Forma exponencial

Exponente

y=〖log〗_a (x) x=a^y

Base

Observa que cuando las formas se cambian, las bases de las formas logarítmica y exponencial son las mismas. El número y (o sea, 〖 log〗_a (x) ) correspondeal exponente en la forma exponencial; en otras palabras, 〖log〗_a (x) es el exponente al que la base debe elevarse para obtener x.

Una gráfica la función 〖f(x)=log〗_2 (x), se muestra en la figura de abajo.

Podemos observar dos puntos claves que siempre aparecerán en las gráficas de logaritmo.

El punto (1, 0) viene de:
〖f(1)=log〗_2 (1) cuya forma exponencial es 2^(f(1))=1 el úniconúmero que satisface la ecuación es: f(1)=0.

El punto (2, 1) viene de:
〖f(2)=log〗_2 (2) cuya forma exponencial es 2^(f(2))=2 el único número que satisface la ecuación es: f(2)=1.

Ejemplo 1

Ejemplos de formas equivalentes:

Forma logarítmica Forma exponencial
〖log〗_5 (u)=2 u=5^2
〖log〗_b (8)=3 8=b^3
〖r=log〗_p (q) q=p^r
〖w=log〗_4 (2t+3) 2t+3=4^w
〖log〗_3 (x)=5+2z x=3^(5+2z)

Ejemplo2.

La cantidad N de bacterias de cierto cultivo después de t horas está dada por N=(1000)2^t. Expresa t como una función logarítmica.
Solución.
Dado N=(1000)2^t

Aislamos la expresión exponencial N/1000=2^t

Ahora cambiamos a la forma logarítmica:
〖t=log〗_2 (N/1000)

Función logaritmo natural y logaritmo común:

La importancia del número e, también genera logaritmos en base aeste número, el cual se llama logaritmo natural y se define como:
ln(x)=〖log〗_e (x)

Nota que log es sustituido por ln y la notación de la base desaparece.

Así mismo debido a la notación científica en base 10 y su diversidad de aplicaciones, se genera el logaritmo en base 10, el cual se llama logaritmo común y se define como:
log(x)=〖log〗_10 (x)
Nota que la notación de la base desaparece.Ejemplo 3.
Ejemplos de formas equivalentes:
Forma logarítmica Forma exponencial
log⁡(x)=2 〖10〗^2=x
log⁡(z)=y+3 〖10〗^(y+3)=z
ln⁡(x)=2 e^2=x
ln⁡(z)=y+3 e^(y+3)=z



Funciones trigonométricas inversas:
Las funciones trigonométricas son periódicas y en consecuencia son funciones no inyectivas. Es necesario restringir su dominio, de manera que, en ese dominio restringido, la función seainyectiva y admita una función inversa.
En la sección 2.2, vimos que la función seno es inyectiva en el intervalo [-π/2,π/2]. En este intervalo podemos definir la inversa de la función seno restringida como:
y=arcsin⁡(x) si y solo sí sin⁡(y)=x
Donde -1≤x≤1 y –π/2≤x≤π/2.
Gráfica de la función arcsin(x):

Luis Carbajal Santos

Función inversa Función Dominio Contradominioy=arcsin⁡(x) si y solo sí sin⁡(y)=x -1≤x≤1 –π/2≤y≤π/2
y=arccos⁡(x) si y solo sí cos⁡(y)=x 0≤x≤1 0≤y≤π
y=arctan⁡(x) si y solo sí tan⁡(y)=x -∞≤x≤∞ –π/2≤y≤π/2
y=arccot⁡(x) si y solo sí cot⁡(y)=x -∞≤x≤∞ 0≤y≤π
y=arcsec⁡(x) si y solo sí sec⁡(y)=x |x|≥1 0≤y≤π, y≠π/2
y=arccsc⁡(x) si y solo sí csc⁡(y)=x |x|≥1 –π/2≤y≤π/2, y≠0

El término arcsin(x) se lee “arco seno de x” o, en másdetalle, “ángulo cuyo seno es x”. Una notación alternativa para la función inversa del seno es “sin^(-1)⁡〖(x)〗”. Las figuras siguientes muestran las gráficas de tres de las funciones trigonométricas inversas.











2.9. Funciones con Dominio en los Números Naturales y un Viaje a los Números Reales: Las Secuencias Infinitas
Considere un conjunto N, una función f: X  Y de la...