Fourier
Páginas: 7 (1511 palabras)
Publicado: 6 de junio de 2011
Propiedades de la Transformada de Fourier
Linealidad
La combinación de las propiedades de la adición y de la multiplicación escalar de la tabla anterior demuestran la propiedad básica de linealidad. Lo que debe de ver es que si uno toma la Transformada de Fourier de una combinación lineal de señales entonces esta será la misma que la combinación lineal de la transformada de Fourier de cadaseñal individual. Esto es crucial cuando usamos la tabla de las transformadas para encontrar la transformada de una señal más complicada.
Ejemplo 1
Empezaremos con la siguiente señal:
z(t) =αf1(t) +αf2(t)
Ahora, después de tomar la transformada de Fourier, mostrada en la siguiente ecuación, notemos que la combinación lineal de los términos no es afectada por la transformada.
Z(ω) =αF1(ω)+αF2(ω) (2)
Simetría
La simetría es una propiedad que nos puede hacer la vida más fácil resolviendo problemas que involucran la transformada de Fourier. Básicamente; p que dice esta propiedad es que ya que la función rectangular en el tiempo es una función sinc en la frecuencia, entonces una función sinc en el tiempo será una función rectangular en la frecuencia. Este es un resultado directode las similitudes entre la CTFT y la inversa de la CTFT. La única diferencia es que es escalda por 2π y una revocación de la frecuencia.
Escalamiento en el Tiempo
Esta propiedad trata con el efecto de la representación del dominio de frecuencia de una señal si la variable tiempo es alterada. El concepto más importante par entender para la propiedad de escalamiento es que las señales queson estrechas en el tiempo son amplias en la frecuencia y vise versa. El ejemplo más sencillo de esto es la función delta, un pulso unitario con una muy pequeña duración, en el tiempo que se convierte en función constante de longitud-infinita en frecuencia.
La tabla anterior muestra esta idea para una transformación general del dominio-tiempo de la señal. Usted debería de ser capaz de notar queesta ecuación muestra la relación mencionada anteriormente: si la variable tiempo incrementa entonces el rango de la frecuencia será decreciente.
Desplazamiento en el tiempo
El desplazamiento en el tiempo muestra que un desplazo en el tiempo es equivalente a un desplazo de fase lineal en la frecuencia. Ya que el contenido de la frecuencia depende solamente de la forma de la señal, el cual esinvariable en el desplazo en el tiempo, entonces solamente la fase del espectro será alterada. Esta propiedad será probada fácilmente usando la Transformada de Fourier, así que mostraremos los pasos básicos a continuación:
Ejemplo 2
Primero empezaremos dejando que z(t) =f(t−τ). Ahora tomemos la transformada de Fourier con la expresión anterior sustituida para z(t).
Z(ω) =∫−∞∞f(t−τ) ⅇ−(ⅈωt) dt(3)
Ahora hagamos un pequeño cambio de variables, donde σ=t−τ. A través de la calculación anterior, podemos ver que solamente la variable en el exponencial es alterada solo cambiando la fase en el dominio de la frecuencia.
|Z(ω) |= |∫−∞∞f(σ) ⅇ−(ⅈω(σ+τ) t) dτ |
| |= |ⅇ−(ⅈωτ) ∫−∞∞f(σ) ⅇ−(ⅈωσ) dσ |
| |= |ⅇ−(ⅈωτ) F(ω) |Modulación (Desplazo de la Frecuencia)
La modulación es absolutamente imprescindible para las aplicaciones de comunicaciones. Siendo capaces de desplazar una señal a diferentes frecuencias, nos que mas que tomar ventaja de diferentes partes de los espectros del electromagnetismo es lo que nos permite transmitir la televisión, radio y otras aplicaciones a través del mismo espacio sin interferenciasignificativa.
La demostración de la propiedad del desplazamiento de la frecuencia es muy similar a la de desplazamiento en el tiempo; Sin embargo, aquí usaremos la transformada inversa de Fourier. Ya que vamos a través de los pasos anteriores, la demostración de desplazamiento en el tiempo, a continuación solo mostrara los pasos iniciales y finales de esta demostración:
z(t) =
|1 |
|2π |...
Linealidad
La combinación de las propiedades de la adición y de la multiplicación escalar de la tabla anterior demuestran la propiedad básica de linealidad. Lo que debe de ver es que si uno toma la Transformada de Fourier de una combinación lineal de señales entonces esta será la misma que la combinación lineal de la transformada de Fourier de cadaseñal individual. Esto es crucial cuando usamos la tabla de las transformadas para encontrar la transformada de una señal más complicada.
Ejemplo 1
Empezaremos con la siguiente señal:
z(t) =αf1(t) +αf2(t)
Ahora, después de tomar la transformada de Fourier, mostrada en la siguiente ecuación, notemos que la combinación lineal de los términos no es afectada por la transformada.
Z(ω) =αF1(ω)+αF2(ω) (2)
Simetría
La simetría es una propiedad que nos puede hacer la vida más fácil resolviendo problemas que involucran la transformada de Fourier. Básicamente; p que dice esta propiedad es que ya que la función rectangular en el tiempo es una función sinc en la frecuencia, entonces una función sinc en el tiempo será una función rectangular en la frecuencia. Este es un resultado directode las similitudes entre la CTFT y la inversa de la CTFT. La única diferencia es que es escalda por 2π y una revocación de la frecuencia.
Escalamiento en el Tiempo
Esta propiedad trata con el efecto de la representación del dominio de frecuencia de una señal si la variable tiempo es alterada. El concepto más importante par entender para la propiedad de escalamiento es que las señales queson estrechas en el tiempo son amplias en la frecuencia y vise versa. El ejemplo más sencillo de esto es la función delta, un pulso unitario con una muy pequeña duración, en el tiempo que se convierte en función constante de longitud-infinita en frecuencia.
La tabla anterior muestra esta idea para una transformación general del dominio-tiempo de la señal. Usted debería de ser capaz de notar queesta ecuación muestra la relación mencionada anteriormente: si la variable tiempo incrementa entonces el rango de la frecuencia será decreciente.
Desplazamiento en el tiempo
El desplazamiento en el tiempo muestra que un desplazo en el tiempo es equivalente a un desplazo de fase lineal en la frecuencia. Ya que el contenido de la frecuencia depende solamente de la forma de la señal, el cual esinvariable en el desplazo en el tiempo, entonces solamente la fase del espectro será alterada. Esta propiedad será probada fácilmente usando la Transformada de Fourier, así que mostraremos los pasos básicos a continuación:
Ejemplo 2
Primero empezaremos dejando que z(t) =f(t−τ). Ahora tomemos la transformada de Fourier con la expresión anterior sustituida para z(t).
Z(ω) =∫−∞∞f(t−τ) ⅇ−(ⅈωt) dt(3)
Ahora hagamos un pequeño cambio de variables, donde σ=t−τ. A través de la calculación anterior, podemos ver que solamente la variable en el exponencial es alterada solo cambiando la fase en el dominio de la frecuencia.
|Z(ω) |= |∫−∞∞f(σ) ⅇ−(ⅈω(σ+τ) t) dτ |
| |= |ⅇ−(ⅈωτ) ∫−∞∞f(σ) ⅇ−(ⅈωσ) dσ |
| |= |ⅇ−(ⅈωτ) F(ω) |Modulación (Desplazo de la Frecuencia)
La modulación es absolutamente imprescindible para las aplicaciones de comunicaciones. Siendo capaces de desplazar una señal a diferentes frecuencias, nos que mas que tomar ventaja de diferentes partes de los espectros del electromagnetismo es lo que nos permite transmitir la televisión, radio y otras aplicaciones a través del mismo espacio sin interferenciasignificativa.
La demostración de la propiedad del desplazamiento de la frecuencia es muy similar a la de desplazamiento en el tiempo; Sin embargo, aquí usaremos la transformada inversa de Fourier. Ya que vamos a través de los pasos anteriores, la demostración de desplazamiento en el tiempo, a continuación solo mostrara los pasos iniciales y finales de esta demostración:
z(t) =
|1 |
|2π |...
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