FRACTALES Y RECURSIVIDAD

FRACTALES Y RECURSIVIDAD
(Un caso de estudio)
Jos´ Galav´ Casas
e
ız
Instituto de Matem´ticas, UNAM
a
´
Area de la Investigaci´n Cient´
o
ıfica, CU
CP 04510 ∗
jose@gauss.matem.unam.mx

Resumen
En este trabajo se presenta una curva fractal, sus propiedades y un algoritmo
para trazarla en una computadora. El algoritmo ha sido codificado en Pascal
dado que este lenguaje, adem´s depopular, es lo suficientemente entendible.
a

1

Introducci´n.
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Durante la d´cada pasada la geometr´ fractal cobr´ fama como herramienta para
e
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o
el estudio de fen´menos complejos. Problemas que no hab´ podido ser abordados
o
ıan
con las herramientas tradicionales, se pudieron modelar utilizando objetos fractales
y esto hizo posible explicarlos o, por lo menos, avanzar hacia suexplicaci´n. De
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igual manera, objetos que hasta hace algunos a˜os eran considerados ”patol´gicos” o
n
o
”monstruosos” dentro del zool´gico de entes matem´ticos, son ahora vistos con otros
o
a
ojos y reconsiderados como objetos dignos de un estudio m´s profundo.
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La geometr´ fractal fue creada por Benoit Mandelbrot con base en trabajos anıa
teriores de algunos matem´ticos y en susestudios de algunos fen´menos. El ejemplo,
a
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ahora cl´sico, utilizado por Mandelbrot para explicar qu´ cosas caracterizan a un
a
e
objeto fractal es el siguiente:
Sup´ngase que se pretende medir la costa de la pen´
o
ınsula de Breta˜a (Francia)
n
y que para ello se proporcionan un mapa de la pen´
ınsula a una cierta escala y un
comp´s. Para tener una idea aproximada de la longitud de lacosta bastar´ con
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dar al comp´s una abertura η, contar cu´ntas veces cabe el comp´s a lo largo de la
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a
a
∗ Art´
ıculo de exposici´n.
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Clasificaci´n AMS: Ciencias de la Computaci´n (68), Geometr´ (51)
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1

costa y multiplicar este n´mero por la escala del mapa. Pero si se cambia el mapa
u
por uno a escala mayor en el que se aprecien m´s detalles, ser´ posibleobservar que
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a
cada uno de los peque˜os c´
n
ırculos de radio η que se trazaron en el mapa anterior
equivalen a c´
ırculos m´s grandes en el mapa nuevo y dentro de cada uno de estos
a
c´
ırculos hay una gran cantidad de irregularidades cuya longitud no fue considerada,
dado que todas ellas fueron englobadas y se consider´ que su longitud era 2η (el
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di´metro del c´
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ırculo). Esposible entonces dar una nueva aproximaci´n a la longitud:
o
ahora damos al comp´s una abertura m´s peque˜a que la anterior y contamos cu´ntas
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n
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veces cabe a lo largo de la costa. Esta medida ser´ m´s precisa que la anterior, pero
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nuevamente estaremos encerrando en cada abertura (paso del comp´s) innumerables
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irregularidades que, sin duda, miden algo y no han sido consideradas. Sepodr´
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continuar este proceso indefinidamente tomando cada vez aberturas de comp´s m´s
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peque˜as y mapas con mayor resoluci´n hasta que finalmente se terminara por ir a
n
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la costa de Breta˜a con un comp´s de abertura peque˜a a contar el n´mero de pasos
n
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n
u
necesarios para recorrerla toda. A pesar de todo siempre se tendr´n irregularidades
a
no consideradas. Adem´s estasirregularidades son muy similares a cualquier escala,
a
dado un trozo de costa irregular es imposible determinar a que escala se encuentra.
La costa se ve igualmente irregular a cualquier escala; a esta propiedad se le denomina
autosimilitud: el aspecto general de un trozo es igual que el que presenta por partes.

1.1

Dimensi´n fractal
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Mandelbrot descubri´ en los escritos de unmeteor´logo llamado Lewis Fry Richardson
o
o
mediciones de diferentes costas. En este trabajo Richardson encontr´ una relaci´n
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o
entre el n´mero (N ) de vecindades (pasos de comp´s) necesarias para cubrir una costa
u
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y el diametro (ε) de dichas vecindades (abertura del comp´s). Se dio cuenta de que
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N crec´ exponencialmente conforme ε decrec´ es decir:
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ıa,
N (ε) = C ε−α
donde C...