FUNCION CUADRATICA PRES MSP 21

FUNCIÓN CUADRÁTICA
Prof. Evelyn Dávila
Proyecto MSP21- FASE II
Academia Sabatina

f ( x)

ax 2

bx



c

La forma general de una función cuadrática
es; f ( x) ax 2 bx c , donde a,b y c son
números reales.

Ejemplos


f ( x)

4x 2

12 x

9

a= 4, b= 12 , c= 9



f ( x)

2x 2

5x 3

a= 2, b= 5 , c= -3



f ( x)

x2

25

a= 1, b= 0 , c= 25



La gráfica de una función cuadrática es
unaparábola; ésta representa el
conjunto solución de la función.



La función cuadrática básica es

f ( x)

x2

.


Su gráfica es la siguiente

x

y

2

4

1

1

0

0

-1

1

-2

4

CARACTERÍSTICAS GRÁFICAS DE UNA
FUNCIÓN CUADRÁTICA


Dada en la forma estándar

f ( x)


ax

2

bx

c

Dominio - los números reales

Concavidad
El valor de a nos indica el tipo de
concavidad de la parábola:
Si a>0 . escóncava hacia arriba
 Si a<0,
es cóncava hacia abajo


a>0

a<0

Vértice
El vértice es el punto mínimo en una
parábola cóncava hacia arriba y es el punto
máximo en una parábola cóncava hacia
abajo.


La coordenada de el vértice es dada por :
x

b
2a

y

b
f( )
2a

Vértice

Punto mínimo

Simetría


La parábola es simétrica con respecto a
la línea vertical que pasa por su vértice y
cuyaecuación es dada por
x
.

b
2a

Interceptos en x

 La

parábola puede tener hasta
un máximo de dos interceptos
en x.

En general podemos encontrar uno de los siguientes
casos:






Tiene dos interceptos en x: la
parábola es cóncava hacia arriba
y su vértice se encuentra bajo el
eje de x ó es cóncava hacia abajo
y su vértice se encuentra sobre el
eje de x.
Tiene un intercepto en x; el
vértice seencuentra sobre el eje
de x.
No tiene intercepto en x: esta
parábola no intercepta el eje de x
y se encuentra en el primer y
segundo cuadrante ó se encuentra
en el tercer y cuarto cuadrante.

Procedimiento para hallar el(los) interceptos
en el eje de x
1.

2.

Igualar la función a cero y hallar las raíces
mediante el método de factorización o la
fórmula cuadrática.
En esos valores ocurren losinterceptos.
Fórmula cuadrática

x

b

b2
2a

4 ac

Intercepto en y


La parábola tiene un intercepto en y y la
coordenada de ese punto es (0,c).
Para
,

f ( x)
f (0)

ax 2
c

;

bx

c

EJEMPLO 1
2x 2

f ( x)
Parámetros

a = 2,

DOMINIO

b = 5, c = -3

Números Reales

Concavidad
Vertice

5x 3

a=2

Cóncava hacia arriba

( -1.25, -1.31 )
x

y

b
2a
b
f( )
2a

x

Punto mínimo
5
2 2

5
4

f ( 1.25)1.25

2( 1.25) 2

3.125 6.25 3
6.125

5( 1.25) 3

EJEMPLO 1
f ( x)

(continuación)

2x 2

Eje de simetría

5x 3

x = -1.25

Interceptos en el eje de x
5

x

x

b

b2
2a

5

x

52

4 ( 2 )( 3)

2( 2)

4 ac

x

( 0.5 , 0 ) y ( -3 , 0 )

25 24
4
5 7
2 1
4
4
2
5 7
12
4
4

5

49
4

3

5 7
4

EJEMPLO 1
f ( x)
Interceptos en el eje de y

GRAFICA

(continuación)
2x 2

5x 3

(0 , -3 )

EJEMPLO 2
x2

f (x)
Parámetros

4

a = -1 , b = 0, c = 4

Dominio Números reales

Concavidad
Vértice

x

a = -1
( 0, 4 )

b
2a

0
2

Cóncava hacia abajo
Punto máximo

y
0

y

b
)
2a
f (0) 4
f(

EJEMPLO 2

(continuación)
f ( x)

x2

4

Interceptos en x
f(x) =
x2 4 0
0
Esta ecuación cuadrática se puede resolver mediante uno de los
siguientes métodos: despejar utilizando radicales o la formula
cuadrática.
Fórmulacuadrática

x

b

b2
2a

4 ac

x
x
x

0

02

4( 1)( 4)

2( 1)
4
2
4
2

2
2

Interceptos en x ( -2, 0 ) y ( 2, 0 )

16
2

4
2

EJEMPLO 2

(continuación)
f ( x)

x2

4

EJEMPLO 3
3x 2

f ( x)
Parámetros

7x 6

a = 3 , b = 7, c = - 6

Dominio Números reales
Concavidad
Vértice

a=3

Cóncava hacia arriba

( -1.17, -10.1 )

Punto mínimo

y

x

b
2a

7
2(3)

7
6

1.17

y

b
)
2a
f ( 1.17 )
f(

3( 1.17 ) 24.11 8.19 6
10 .1

7 ( 1.17 ) 6

EJEMPLO 3

(continuación)
f ( x)

Eje de simetría

3x 2

x = 1.17

Interceptos en el eje de x

x

b

b2
2a

7x 6

( 0.67 , 0 ) y ( - 3 , 0 )

7

x

72

2 (3)

4 ac
7

x
x

4 (3)( 6 )

49
6
7 11
6
7 11
6

72

7

121
6

4
6

2
3
18
6

.67
3

7 11
6

EJEMPLO 3

(continuación)
f ( x)

3x 2

7x 6

Práctica
g ( x)
Parámetros
Dominio
Concavidad
Vértice
Simetria...