Funcion Cuadratica

Ecuación de segundo grado con una Incógnita:
Una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado en x, es aquella que puede escribirse de la forma Aχ2 + Bχ + C= 0, donde sus coeficientes son A, B y C, con A ≠ 0, y c es el término independiente.
Al graficar la función f (χ)= ─χ2 ─4χ ─3, se observa que la parábola vertical corta el eje x en dos puntos, A (-3, 0) y B (-1, 0). Se dice entonces quela función vale cero en χ1= -3 y en χ2 = -1.
y
Los valores χ1 y χ2 de la variable independiente hacen que la función y= Aχ2 + Bχ + C sea igual a cero, y se denominan ceros o raíces de la función.
x
-4 -3 -2 -1 0 0
-1-1
-2
-3

y= -χ2-2χ ─ 3

Para encontrar esos puntos, se iguala y=0 y seresuelve la ecuación cuadrática o de segundo grado que resulta, o sea Aχ2 + Bχ + C=0. 2

La solución cero o raíz de la ecuación cuadrática es todo numero α tal que Aα2 + Bα + C= 0, y se dice que α satisface la ecuación. Resolver una ecuación es hallar todas sus raíces. Observa los siguientes ejemplos:
a) ¿Es χ2 ─2χ ─ 3= 0 una ecuación cuadrática? ¿cuáles son los números ─1 o 1 son raíces deesa ecuación?

La ecuación dada es cuadrática porque esta escita en su forma general y sus coeficientes son A= 1, B= ─2, y C= ─3.

Para χ= ─1 resulta: (─1)2 ─2 (─1) ─ 3= 1 ─2 (─1) ─3= 1 + 2 ─ 3=0.
Y para χ= 1 se obtiene: 12 ─ 2 ∙ 1 ─ 3= 1 ─2 ─ 3= 1 ─ 5= ─4 ≠ 0.
Por lo tanto, ─1 es una raíz de la ecuación, pro 1 no lo es.

b) ¿Cuánto vale b para que la ecuación (4 ─ b2) χ2 + 5χ ─ b= 0sea cuadrática?

La ecuación dada es cuadrática si y solo si el coeficiente de χ2 es distinto de cero. Ahora bien, 4 ─ b2 = 4, o sea si b= ±2. Por consiguiente, la ecuación dada es cuadrática siempre y cuando b sea distinto de los números ─2 y 2.

c) ¿Es 1χ2 ─ 2χ=3 es una ecuación cuadrática?

Ya que en el conjunto de los reales no se puede dividir entre cero, los denominadores no puedenanularse. Luego, χ ≠ 0. Al multiplicar la ecuación dada por χ2 resulta:

χ2χ2 ─ 2χ2χ=3χ2 → 1 ─2χ= 3χ2 → 0= 3χ2 ─1 → 3χ2 + 2χ ─ 1= 0

Como se obtiene una ecuación cuadrática de coeficientes A= 3, B= 2 y C= ─1, la ecuación original 1χ2 ─ 2χ=3 es una ecuación cuadrática con los coeficientes dados.

Tipos de Soluciones de una Ecuación Cuadrática.

El primer miembro de una ecuación cuadráticaes la función cuadrática f (χ)= Aχ2 + Bχ + C, y al igualar a 0 se obtienen las abscisas del corte de la parábola con eje horizontal. Ya que la parábola no puede cortar el eje horizontal en más de dos puntos, entonces una ecuación cuadrática no puede tener más de dos raíces reales, es decir: puede tener dos raíces cuando la parábola corta el eje x en dos puntos; puede tener una raíz cuando laparábola corta el eje x en un solo punto; o no tiene raíces reales cuando la parábola no corta el eje x.

En consecuencia una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones, puede tener una solución o puede no tener soluciones reales.

Propiedades de las Raíces de una Ecuación Cuadrática.
Dada una ecuación cuadrática Aχ2 + Bχ + C = 0, de raíces χ1 y χ2, se cumple que:
* La suma de las raíces esigual al coeficiente de χ cambiando de signo, dividido entre el coeficiente de χ2, esto es: χ1 + χ2= -BA .
* El producto de las raíces es igual al término independiente entre el coeficiente de χ2, esto es: χ1 ∙ χ2= CA .
Por ejemplo, en la ecuación 5χ2 + 4χ + 25= 0, la suma de sus raíces χ1 y χ2 es: -BA= -45 y su producto es: CA= 255=5
Se puede construir una ecuación de segundo grado con...