Funcion Cuadratica

Función Cuadrática
La función cuadrática son todas aquellas que están determinadas por una ecuación de segundo grado, de la forma:




si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.
También se la puede encontrar expresada de la forma donde y y ; en particular, si se toma y, se obtiene la función cuadrática simple , a la cual se la denomina identidad, la representación grafica de la función cuadrática se la nombra parábola
Características de la parábola:
La forma de la parábola está determinada por los coeficientes de la función cuadrática y
Coeficiente
La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente de , es decir, cualquier parábola deltipo tiene la misma forma que la parábola , es por este motivo que se denomina coeficiente principal, determina la orientación de la parábola y la apertura de la misma.
Si las ramas de la parábola van hacia arriba y se dice que es una parábola cóncava.
Si las ramas de la parábola van hacia abajo estamos hablando de una parábola convexa.
El valor absoluto de modifica la abertura de lasparábolas, cuanto mayor sea más cerrada será la parábola, y viceversa.



El gráfico corresponde a Parábolas del tipo , donde muestra las diferentes parábolas de acuerdo a los valores que toma el coeficiente principal






Coeficiente
El coeficiente (término independiente), es el valor que determina la intersección de la parábola con el eje .




Parábolas del tipo
Si a laecuación cuadrática se le suma una unidad, o sea, , la parábola se desplaza “uno” hacia arriba.
Si a la ecuación cuadrática se le resta una unidad, o sea, , la parábola se desplaza “uno” hacia abajo.
Las parábolas del tipo , tienen exactamente la misma gráfica que , unidades hacia arriba o hacia abajo, según el signo de y, por lo tanto, su vértice es el punto .
Parábolas del tipo
Si laparábola es del tipo , entonces pasa por el origen de coordenadas y corta también al eje en el punto . Y la grafica se observa las funciones e , donde se observa como la parábola de la función pasa por el origen de coordenadas y corta al eje en el punto, verificando lo antes mencionada.
Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría. Este es unarecta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.
Su ecuación está dada por: , donde   y   son las raíces de la ecuación de segundo grado en , asociada a la parábola.
De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:

Discriminante: alradicando se lo llama discriminante, ya que el valor sirve para discriminar la naturaleza de las raíces y se lo simboliza con la letra griega (delta)
Si tiene dos raíces, es decir que el la parábola corta al eje en dos puntos
Si tiene una sola raíz, es decir que la parábola corta al eje en un solo punto
Si no tiene soluciones reales, es decir que la parábola no corta al eje
Vértice: otropunto importante de la parábola es donde cambia de dirección conocido como vértice, para hallarlo debemos tener en cuenta que está es simétrica, por lo tanto podemos hallar la componente del vértice fácilmente ya que se encuentra entre raíces, por lo que debemos promediar las mismas, de la siguiente manera:
ó
Luego para encontrar la componente del vértice , reemplazando en lafunción
ó
Así, las coordenadas del vértice de una parábola de ecuación , será

Formas de expresar una función cuadrática
Polinómica: , llamada así porque está escrita en su expresión explícita, es decir en forma de un polinomio
Canónica: , me da como dato el vértice de la parábola, llamada también forma estándar, se la puede encontrar de la forma donde es el desplazamiento en el...