Funciones trascendentes

FUNCIONES TRASCENDENTALES
(O NO ALGEBRAICAS ) 1-FUNCION LOGARITMO NATURAL Definición y propiedades La funcion logaritmo natural de un numero positivo se nota ln su dominio es el conjunto de los números reales positivos y se define como una integral 1 definida, ,es el área bajo la curva de la funcion en el intervalo [1,x] con x t positivo es decir :

x ln x = ∫1dt 1t

donde f(t)=

1 t

six es mayor de 1 el área sombreada esta dada por : A( x) =

x1 ∫ t dt 1

y

para x entre 0 y 1 el área sombreada bajo la misma curva esta dada por : A( x) = − ∫ 1dt = − ln x xt
g

1

Y por el teorema fundamental del cálculo

d ln x = d x1dt = 1 con x > 0 ∫ x dx dx 1 t

Ya que la derivada de una integral con respecto a su limite superior es la funcion integrando EJEMPLOSILUSTRATIVOS DE LA DEFINICION DE LOGARITMO

21 ln 2 = ∫ dt t 1
3 ln 3 = ∫1dt t 1 61 ln 6 = ∫ dt t 1

aproximadamente 0,693147

aproximadamente 1,098612

aproximadamente 1,791759

El logaritmo natural lnx significa logaritmo en base e de x log e x donde e es el numero trascendental , irracional de valor aproximado 2,71828.. El logaritmo natural se lee ele ene de x
log(x) significa log x la base es10 y es llamado logaritmo común y por 10 lo general se omite el subíndice 10 El logaritmo en base a log a de un numero con a número real y el logaritmo natural ln tienen las mismas propiedades

PROPIEDADES 1- Logaritmo de un producto de dos números positivos es la suma de los logaritmos de esos números

ln (a b) = ln(a)+ln(b) Ejemplos : 1- log 56 =log(8x7)= log8+log7 ≈ 0.9031 +0.8451=1.74822- log 18 =log(9x2)= log9+log2 ≈ 0.9542 +0.3010=1.2552 3- ln(x(x+5))= lnx + ln(x+5)
2- Logaritmo de un cociente de dos números positivos es la diferencia entre el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador

ln (a /b) = ln(a)-ln(b)
Ejemplos : 16 1- log =log16- log21 = 1.2042 - 1.3222 = -0.1180 21 9 2- log =log 9- log7 = 0.9542 - 0.8451 = 0.1091 7 2 = ln2 – ln(x+3) 3- ln x+3 3-Logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base de esa potencia

ln (a ) = r .ln(a)
r

EJEMPLO :
1 1 log 5 = (0.6990 ) =0.3495 2 2 2- log 82 =2.log8 = 2(0.9031)=1.8062 3- ln ( x 2 + 7)5 = 5ln( x 2 + 7)

1- log 5 = log 5 =

1 2

4-Logaritmo del numero 1 es cero ln(1) = 0

5.logaritmo natural del numero irracional e ln e = 1
EJEMPLOS log 1 = 0 6 log1 = 0 3 log1 = 0

es igual a 1

6-si la ecuación logaritmo de x es igual al logaritmo de y entonces x es igual a y

ln x = ln y

entonces

x= y

La funcion logaritmo natural
y =ln x el dominio es el intervalo (0, ∞)
⎧< 0 ln x = ⎪= 0 ⎨ ⎪> 0 ⎩ para 0 < x < 1 para x = 1 para x > 1

la grafica de la funcion logaritmo natural o neperiano es la siguiente:

El rango es el conjunto denúmeros reales Es creciente en todo su dominio y lim

x→∞

ln x = ∞

y

lim ln x = −∞ x→0+

DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL

y = lnx

la derivada

y '= 1
x

si la variable x se cambia por la funcion u(x) se usa la regla de la cadena para derivar 1 du y=ln u(x) entonces y’= u ( x) dx EJEMPLOS: 1. f ( x) = ln( x 2 − x − 2) por lo tanto f ' ( x) = 1 ( x 2 − x − 2) (2 x − 1)

2.y=ln(5x+3) la derivada es y’= 3. y = ln(

1 5 .(5) = 5x + 3 5x + 3

x ) entonces se aplican las propiedades de logaritmo asi: x +1 y=ln x-ln(x+1) y después se deriva

dy 1 1 = − dx x x + 1

4. y = 3

x −1 , x > 1 se simplifica la expresión usando las propiedades de x2

logaritmo natural

y = ln( x − 1)1/ 3 = 1 ln( x − 1) = 1 [ln( x − 1) − ln( x 2 )] = 1 [ln( x − 1) − 2 ln x] 3 3 3 x2 x2dy 1 1 = ( − 2) = 2 − x dx 3 x − 1 x 3x 2 − 3x

INTEGRALES QUE PRODUCEN FUNCIONES LOGARITMICAS NATURALES
1. ∫ dx = ln x + C x 2. ∫ du = ln u + C si u =g(x) diferente de 0 y derivable u 3. ∫

1

1

x dx se efectua la sustitución u = 3x 2 − 5 y el du = 6x dx la 3x 2 − 5 1 1 1 1 integral se transforma en ∫ du = ln u + c = ln 3x 2 − 5 +c 6 u 6 6

4. ∫ tan xdx

senx ∫ tan xdx = ∫ cos...