gaudi catenaria

Gaudí y las Matemáticas.
La Sagrada Familia.
Introducción
Antoni Gaudí i Cornet (Reus, 25 de junio de 1852 – Barcelona, 10 de junio de 1926)
arquitecto, máximo representante del modernismo catalán.

Gaudí fue un arquitecto con un sentido innato de la geometría y el volumen, así como
una gran capacidad imaginativa que le permitía proyectar mentalmente la mayoría de
sus obras antes de pasarlas aplanos. De hecho, pocas veces realizaba planos
detallados de sus obras; prefería recrearlos sobre maquetas tridimensionales,
moldeando todos los detalles según los iba ideando mentalmente. En otras ocasiones,
iba improvisando sobre la marcha, dando instrucciones a sus colaboradores sobre lo
que tenían que hacer.

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1.- Catenaria
Uno de los elementos empleados profusamente por Gaudí es la curvaparabólica o catenaria. Gaudí había estudiado en profundidad la geometría cuando era
joven, leyendo numerosos tratados sobre ingeniería que alababan las virtudes de la
utilización de la curva catenaria como elemento mecánico, que sin embargo entonces
sólo se usaba en la construcción de puentes suspendidos; Gaudí fue el primero en
utilizar este elemento en la arquitectura común. La utilización dearcos catenarios en
sus obras, en particular, en la Sagrada Familia permite a Gaudí dotar a sus estructuras
de un elemento de gran resistencia, ya que la catenaria distribuye regularmente el
peso que soporta, sufriendo únicamente fuerzas tangenciales que se anulan entre
ellas.
Expliquemos que es una catenaria.
Una curva es una línea continua, de una dimensión, que varía de dirección
paulatinamente.Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la
circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La recta
sería el caso límite de una curva de radio infinito.
Catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos,
sometida a un campo gravitatorio uniforme. La palabra deriva del latín catenarĭus
(propio de la cadena).
En matemáticas sedenomina catenaria a la curva que adopta una cadena, cuerda o
cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de
longitud, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio
uniforme.
Los primeros matemáticos que abordaron el problema supusieron que la curva era una
parábola. Huygens, a los 17 años, demostró que no lo era, pero no encontró laecuación de la catenaria. La ecuación fue obtenida por Gottfried Leibniz, Christiaan
Huygens y Johann Bernoulli en 1691, en respuesta al desafío planteado por Jakob
Bernoulli. Huygens fue el primero en utilizar el término catenaria en una carta dirigida a
Leibniz en 1690, y David Gregory escribió, ese mismo año, un tratado sobre la curva.

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La ecuación de la catenaria, tomando su mínimo en elpunto (0,a) es:

donde

siendo
la componente horizontal de la tensión, que es constante y P el peso por
unidad de longitud del hilo y cosh la función coseno hiperbólico.

Recordemos que el coseno hiperbólico de un número real

, se define como:

donde ex = exp(x), siendo exp(x) la función exponencial, es decir, la potencia de base
natural e y exponente x. Su inversa es el Argumento Coseno Hiperbólicode x, esto se
denota por:

Sus propiedades más significativas son:
.
•

Relación con el seno hiperbólico:

•

Relación con el coseno:

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•

Su derivada es:

•

Serie de Taylor:

Así

que corresponde a la ecuación de una parábola más un término de cuarto orden. Es
por este motivo que las gráficas son tan parecidas en el entorno de cero.
Sus relaciones más importantes son:
•

La longitud delarco, con el origen de arcos en el mínimo es:

•

La tensión total del hilo es:

Nota: De manera análoga se definen el seno hiperbólico como:

y la tangente hiperbólica como:

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2.- ¿Dónde nos encontramos esta famosa curva?
Las columnas de la Sagrada Familia de Barcelona siguen una catenaria.
Iniciado en 1882, todavía está en construcción. Es el máximo exponente de la
arquitectura modernista...