Geologia

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TLALNEPANTLA.

Nombre del Alumno: Esquivel Guerrero Jose Alejandro.

Grupo: 1

Carrera: Ing. Tecnologías de la Información Y comunicaciones

Materia: Probabilidad y Estadística.

Tema: Probabilidad Condicional y Eventos Independientes.

Probabilidad condicional

Consideremos una urna que contiene 4 bolillas rojas y 5 blancas. De las 4 bolillas rojas, 2
sonlisas y 2 rayadas y de las 5 bolillas blancas, 4 son lisas y una sola es rayada.
Supongamos que se extrae una bolilla y, sin que la hayamos mirado, alguien nos dice que
la bolilla es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la bolilla sea rayada?
Sean los sucesos A: “la bolilla es rayada” y B: “la bolilla es roja”. Obviamente, sin ninguna
información previa, P(A)= 3/9=1/3 y P(B)=4/9.
Sinembargo, como sabemos que la bolilla es roja, la probabilidad de que sea rayada es
½, ya que, de las rojas la mitad es lisa y la mitad rayada. Observemos, que al ocurrir B, el
espacio muestral se reduce.
En general, dado un experimento y su espacio muestral asociado, queremos determinar
cómo afecta a la probabilidad de A el hecho de saber que ha ocurrido otro evento B.
todas las propiedades que sededucen a partir de ellos.

Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a. La primera semilla sea roja?
b. La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?
Solución:
a. La probabilidad de que la primera semilla sea roja es , puesto que hay 10semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos:
b. La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por
, y se lee: la probabilidad de B2 dadoR1.
Esta probabilidad , puesto que todavía hay 5 semillas blancas en un total de 14 restantes.
Veamos la situación en un diagrama de árbol:

Definición de Probabilidad Condicional: Para dos eventos cualesquiera A y B en un espacio muestra S, tales que P(A) > 0 con P(A) ¹ 0, la probabilidad del evento B dado el evento A, se define por . |

Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál esla probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?
Solución: El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es
S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}
El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es:
A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}
El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}
Por lo tanto, AÇ B ={aaa} yDe donde
Nótese que es la probabilidad de una ocurrencia en las siete que son posibles en A; es decir, calcular la probabilidad condicional de B dado A es como calcular la probabilidad de B con relación al conjunto A, como si éste fuera un nuevo espacio muestra S* = A.
 
Proposición 3.5: Para dos eventos A y B cualesquiera del espacio muestra S,

Demostración: Para cualquier evento B,
||
Como los eventos (BÇ A) y (BÇ AC) son mutuamente exclusivos y su unión es B, entonces por el axioma 3, tenemos: [3.3]
Despejando P(AÇ B) de la definición de probabilidad condicional, tenemos
P(AÇ B) = P(A) P(B/A) y P(ACÇ B) = P(AC) P (B/AC)
Sustituyendo en [3.3] se tiene P(B) = P(A) P(B/A) + P(AC) P (B/AC).
Obsérvese que en un diagrama de árbol si se multiplica

P(A) P(B/A) = P(AÇ B) yP(AC) P(B/AC) = P(ACÇ B)
 
Ejemplo 29: Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea blanca.
Solución: Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y AC el evento de seleccionar la caja 2, entonces P(A) = P(AC) = 1/2...