Geometría Analitica

Hipérbola

¿Qué es?
Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dospuntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

¿Cuáles son sus elementos?
Eje mayor
El eje mayor es la recta de la hipérbola donde pertenecen los focos y los vértices de la misma. Su valor es 2a y es perpendicular al eje imaginario
Eje menor o imaginario.
El eje menor o imaginario no tiene puntos en común con la hipérbola. Sinembargo, siempre se cumple que las perpendiculares lanzadas por sus extremos cortan con las perpendiculares lanzadas por los extremos del eje mayor en 4 puntos que pueden servir para trazar las asíntotas.
Asíntotas
Son las rectas r y r' que pasan por el centro de la hipérbola y verifican que se acercan ramas de la misma tanto más cuanto más nos alejamos del centro de la hipérbola.
Las ecuaciones delas asíntotas son: r: y= b/a x r': y = -b/a x
Vértices
Los vértices de una hipérbola son los puntos donde ésta corta a sus ejes.
Focos
Son dos puntos, , respecto de los cuales permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto, , de dicha hipérbola.

Centro
Punto medio de los vértices de la hipérbola.
Tangentes
La tangente a una hipérbola en cualquierpunto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

Ecuaciones
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

Ejemplos:
a)

b)

Si el eje x es positivo, entonces la hipérbola eshorizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.






Aplicaciones
La hipérbola tiene una propiedad interesante: Si unimos cualquier punto, P, de la hipérbola con sus focos, el ángulo que forman los radios focales con la tangente en ese punto, son iguales.
Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues laemisión, de luz o sonido, desde el foco se refleja en la dirección de la recta que une el otro foco con el punto.
Aplicada en astronomía: Trayectorias de cometas.
Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas.
En el siguienteesquema se puede ver cómo se pueden combinar las propiedades ópticas de la parábola y la hipérbola para construir un telescopio.

En mecánica se usan en el diseño de estructuras hay algunas veces que los resultados de las fuerzas sobre una viga dan en forma de hipérbola.
Si usas una linterna (cuyo haz de luz es cónico) y la colocas paralela a una pared, el borde de luz que se ve contra lapared es una perfecta hipérbola.

Es bastante común verla en edificios y construcciones arquitectónicas. Si tienes un edificio de sección cuadrada o rectangular con un remate o cúpula cónica (algo similar al edificio Chrysler), la unión de ambos cuerpos produce hipérbolas.











Elipses

¿Qué es?
. Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie deun cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a...