geometria analitica

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8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

E J E R C I C I O S

P R O P U E S T O S

8.1 Las coordenadas de los vértices de un rectángulo son A(2, 2); B(2, 5); C(6, 5), y D(6, 2).
៮៬ ៮៬ ៮៬
៮៬
៮៬
Halla las coordenadas y representa los vectores AB , BC , CD y DA . ¿Qué relación existe entre AB y
៮៬? ¿Y entre BC y DA ?
៮៬ ៮៬
CD
៮៬
AB ϭ (0, 3)
៮៬
៮៬AB ϭ ϪCD

៮៬
BC ϭ (4, 0)
៮៬
៮៬
BC ϭ ϪDA

៮៬
CD ϭ (0, Ϫ3)

៮៬ ϭ (Ϫ4, 0)
DA

៮៬
8.2 Las coordenadas de un punto A son (3, 1) y las del vector AB son (3, 4). ¿Cuáles son las coordenadas
៮៬
del punto B? Determina otro punto C de modo que el vector AC tenga el mismo módulo y la misma
៮៬, pero distinto sentido.
dirección que el vector AB
៮៬
AC ϭ (Ϫ3, Ϫ4)

B ϭ (3 ϩ 3, 4 ϩ 1) ϭ (6,5)

C ϭ (Ϫ3 ϩ 3, Ϫ4 ϩ 1) ϭ (0, Ϫ3)

៮៬
៮៬
8.3 Representa los vectores a ‫ ;)2 ,2( ؍‬b ‫ ;)0 ,7( ؍‬c ‫ ;)2 ,6؊( ؍‬d ‫ ,)1؊ ,3( ؍‬y e ‫ )0 ,6؊( ؍‬con origen en el
៮៬
៮៬
៮៬
origen de coordenadas. ¿Qué coordenadas tienen los extremos de cada vector?
Y

Las coordenadas de los extremos de cada vector
coinciden con las coordenadas de los vectores.

(–6, 2)

(2, 2)
c

1
O

e

(–6,0)

a
(7, 0)

b
1

X
d

(3, –1)

8.4 Halla las coordenadas de los vectores de la figura.
a៬ ϭ (2, 2)
៮
៮៬
b ϭ (7, 0)
c៬ ϭ (Ϫ6, 2)
៮
៮៬
d ϭ (3, Ϫ1)
e៬ ϭ (Ϫ6, 0)
៮

Y
c

1
O

e

a
b
1

X
d

8.5 Dados los vectores u ‫ ;)5 ,6( ؍‬v ‫ )0 ,3؊( ؍‬y w ‫ ,)4؊ ,2( ؍‬calcula:
៮៬
៮៬
៮៬
៮៬
a) 2u
៮៬
៮៬
b) 3v ؊ w
៮៬
៮៬)
៮៬
c) 5(u ؊ v ؉ w
៮
a) 2u៬ ϭ 2 и (6, 5)ϭ (12, 10)
៮
៮
b) 3v៬ Ϫ w៬ ϭ 3 и (Ϫ3, 0) Ϫ (2, Ϫ4) ϭ (Ϫ9, 0) Ϫ (2, Ϫ4) ϭ (Ϫ11, 4)
៮
៮
៮
c) 5(u៬ Ϫ v៬) ϩ w៬ ϭ 5 и [(6, 5) Ϫ (Ϫ3, 0)] ϩ (2, Ϫ4) ϭ 5 и (9, 5) ϩ (2, Ϫ4) ϭ (45, 25) ϩ (2, Ϫ4) ϭ (47, 21)
8.6 Los vértices de un paralelogramo son A(3, 4); B(؊4, 4); C(3, ؊4), y D. ¿Cuáles son las coordenadas de D?
Y
B (–4, 4)

A (3, 4)

D(10, Ϫ4)
1
O

X

1

C (3, –4)

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៮៬
៮៬
8.7 Dados los vectores a ‫ ;)2 ,7؊( ؍‬b ‫ ;)4؊ ,01( ؍‬c ‫ ,)4؊ ,41( ؍‬y d ‫ ,)2 ,91؊( ؍‬determina si son linealmente
៮៬
៮៬
dependientes:
៮៬ ៮៬
a) a y b
៮៬, ៮៬ ៮៬
b) a b y d
c) a y c
៮៬ ៮៬
៮៬ ៮៬ ៮៬
d) b , c y d
៮៬
៮
a) a៬ ϭ ␭b ⇒ (Ϫ7, 2) ϭ ␭(10, Ϫ4) no tiene solución; por tanto, son linealmente independientes.
Ϫ3
␣ ϭ ᎏᎏ
Ϫ7 ϭ10␣ Ϫ 19␤
7
៮៬
៮៬
b) a៬ = ␣b ϩ ␤d ⇒ (Ϫ7, 2) ϭ ␣(10, Ϫ4) ϩ ␤(Ϫ19, 2) ⇒
៮
⇒
⇒ a៬, b y d son linealmente
៮ ៮៬ ៮៬
1
2 ϭ Ϫ4␣ ϩ 2␤
␤ ϭ ᎏᎏ
dependientes.
7
៮
៮
c) (Ϫ2) и a៬ ϭ c៬ ⇒ linealmente dependientes.
7
␣ ϭ ᎏᎏ
6
10 ϭ 14␣ Ϫ 19␤
៮៬
៮៬
៮
⇒
⇒ a៬, b y d son linealmen៮ ៮៬ ៮៬
d) b ϭ ␣c៬ ϩ ␤d ⇒ (10, Ϫ4) ϭ ␣(14, Ϫ4) ϩ ␤(Ϫ19, 2) ⇒
1
Ϫ4 ϭ Ϫ4␣ ϩ 2␤
␤ ϭ ᎏᎏ
te dependientes.
3

··

8.8 Indica las coordenadas de los siguientes vectores y represéntalos gráficamente.
៮៬
c) c ‫41 ؍‬i៬ ؊ 4j៬
៮៬
a) a ‫7؊ ؍‬i៬ ؉ 2j៬
៮៬
៮៬
b) b ‫01 ؍‬i៬ ؊ 4j៬
d) d ‫91؊ ؍‬i៬ ؉ 2j៬
a) a៬ ϭ Ϫ7i៬ ϩ 2j៬ ϭ Ϫ7(1, 0) ϩ 2(0, 1) ϭ (Ϫ7, 2)
៮
៮៬
b) b ϭ 10i៬ Ϫ 4j៬ ϭ (10, Ϫ4)

c) c ϭ 14i៬ Ϫ 4j៬ ϭ (14, Ϫ4)
៮៬
៮៬
d) d ϭ Ϫ19i៬ ϩ 2j៬ ϭ (Ϫ19, 2)
Y

(–19, 2)

(–7, 2)
d

a

1
O

X1
c
b
(10, –4)

(14, –4)

8.9 Dados los vectores u ‫ ;)2 ,1( ؍‬v ‫ ;)4؊ ,3( ؍‬w ‫ )3؊ ,2( ؍‬y z ‫ )6؊ ,4( ؍‬realiza estas operaciones.
៮៬
៮៬
៮៬
៮៬
៮៬ ៮៬
៮៬ ៮៬
៮៬
៮៬) ៮៬
b) w ؒ z
c) (u ؉ v ؒ w
a) u ؒ v
៮ ៮
a) u៬ и v៬ ϭ (1, 2) и (3, Ϫ4) ϭ 3 Ϫ 8 ϭ Ϫ5
b) w៬ и z៬ ϭ (2, Ϫ3) и (4, Ϫ6) ϭ 8 ϩ 18 ϭ 26
៮ ៮
៮
៮
៮
c) (u៬ ϩ v៬) и w៬ ϭ [(1, 2) ϩ (3, Ϫ4)] и (2, Ϫ3) ϭ (4, Ϫ2) и (2, Ϫ3) ϭ8 ϩ 6 ϭ 14
8.10 Los módulos de dos vectores son 6 y 10. Halla el producto escalar de ambos vectores si el ángulo que
forman es de 60؇.
1
u៬ и v៬ ϭ | u៬ | и | v៬ | и cos (u៬, v៬) ϭ 6 и 10 и cos 60Њ ϭ 60 и ᎏᎏ ϭ 30
៮ ៮
៮
៮
៮ ៮
2
8.11 Calcula el módulo de estos vectores.
៮៬
a) a ‫)1؊ ,3( ؍‬
៮៬
b) b ‫)7؊ ,2؊( ؍‬

ෆϪ1)2
ෆ
͙32 ϩ (ෆ ϭ ͙10
2
៮៬ | ϭ ͙(Ϫ2)2 ϩෆ ϭ ͙53
b) | b
ෆ (Ϫ7)
ෆ...