graficas del metodo de euler

MÉTODO DE EULER 
La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.
Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto detangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto  como una aproximación al valor deseado  . 

Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial  dada   en el punto  . De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es: 
                                                 
donde  m  es la pendiente. En estecaso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:
 
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es : 
 
Ahora bien, suponemos que    es un punto cercano a  , y por lo tanto estará dado como  . De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:

De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación: 
 
Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si elvalor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de  h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia   en  n  partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en  n pasos, aplicando la fórmula anterior  n  veces de un paso a otro, con la nueva  h  igual  a  .
En una gráfica, tenemos lo siguiente: 

Ahora bien, sabemos que: 
 
Para obtener    únicamente hay que pensar que ahora el papel de   lo toma el punto , y por lo tanto, si sustituímos los datos adecuadamente, obtendremos que: 
 
De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, estádada por: 
 
Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de   aplicándola sucesivamente desde    hasta   en pasos de longitud  h. 
Ejemplo 1
Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial: 

Aproximar  .

NOTA
Primero observamos que esta ecuación sí puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemosaplicar el método de separación de variables. Veamos las dos soluciones. 
Solución Analítica.
 
   
   
   
Sustituyendo la condición inicial: 

    
 
Por lo tanto, tenemos que la curva solución real está dada: 

 
     
Y por lo tanto, el valor real que se pide es:  

Solución Numérica
Aplicamos el método de Euler y para ello, observamos que la distancia entre   y  no es lo suficientemente pequeña. Si didimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de   y por lo tanto, obtendremos la aproximación deseada en cinco pasos. 
De esta forma, tenemos los siguientes datos: 
 
Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, tenemos, en un primer paso:    
 
Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso: 
 
Y asísucesivamente hasta obtener  . Resumimos los resultados en la siguiente tabla: 
n


0
0
1
1
0.1
1
2
0.2
1.02
3
0.3
1.0608
4
0.4
1.12445
5
0.5
1.2144
  Concluímos que el valor aproximado, usando el método de Euler es: 
 
Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero, podemos usarlo para calcular el error relativo porcentual que se cometió al aplicar laformula de Euler. Tenemos que: 

Ejemplo 2
Aplicar el método de Euler para aproximar , dada la ecuación diferencial. 

 
Solución
Nuevamente vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximación. Así, elegimos nuevamente   para obtener el resultado final en tres pasos. Por lo tanto,  aplicamos el método de Euler con los siguientes datos: 
 
En un primer paso, tenemos que:       ...