Guia de ecuaciones diferenciales

UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL NORTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA TERCERA GUÍA DE EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES MA - 382 30 de Agosto de 2005 1. Resuelva las siguientesecuaciones: a) y 0 = (x + y)2
0 2

R.: x + y = tg(x + c) d)
dy dx

c)

b) y = sen (x − y + 1)
dy dx

= 1 + ey−x+5

=

R.: tg(x − y + 1) = x + c
1−x−y x+y

2.Si ae 6= bd muestre que se pueden elegir constantes h y k de modo tal que las sustituciones dy ax+by+c x = z − h, y = w − k , transforman la ecuación dx = F ( dx+ey+f ) enuna ecuación homogénea. 3. Resuelva las siguientes ecuaciones: (a)
dy dx

=

x−y−3 x+y−1

(b) (2x + 3y − 1)dx − 4(x + 1)dy = 0 √ xy)dy = 0,

, R.: (y + 1)2 + 2(y +1)(x − 2) − (x − 2)2 = c

4. Resuelva las siguientes ecuaciones homogéneas (a) −ydx + (x + (c) (d)
dy dx dy dx

(b) 2x2 ydx = (3x3 + y 3 )dy , R.- y 9 = c(x3 + y 3 )2 ==
y x y x

p R.- ln | y |= 2 x/y + c

+ x , R.- (y/x)2 = 2 ln | x | +c y +
x2 y2

+1

5. Determine si la ecuación dada es exacta, y si lo es resuélvala. (a) (2x +y) dx − (x + 6y) dy = 0, R.: No es exacta. (c) (x3 + y 3 )dx + 3xy 2 dy = 0, R.: 1 x4 + xy 3 = c 4

y (e) (y 2 + 3xy)dx = (4x2 + xy)dy , y(1) = 1, R.- 4x ln | x | +xln(x) + y − x = 0 √ (f) y 3 dx = 2x3 dy − 2x2 ydx, y(1) = 2 p √ dy (g) (x + y 2 − xy) dx = y, y( 1 ) = 1 R.- ln |y| = −2(1 − x/y)1/2 + 2 2

(b) ( sen(y) − ysen(x)) dx +(cos(x) + x cos(y) − y) dy, R.: x sen(y) + y cos(x) = c (d) (x + y)2 dx + (2xy + x2 − 1)dy = 0 6. Determine M(x, y) ó N(x, y) para que la ecuación dada resulte exacta:
1 (a) M(x,y)dx + (xexy + 2xy + x )dy = 0, R.: M(x, y) = yexy + y 2 − x )dx x2 +y y x2 1 (x2 2

(b) (y 1/2 x−1/2 +

+ N(x, y)dy = 0, R.: N(x, y) = y −1/2 x1/2 +

+ y)−1