Guia de sistemas lineales

les
a
e
n
i
l
s
ione
c
a
u
c
e
s de
Sistema

´Indice general

1. Sistemas de ecuaciones lineales

2

2. M´etodo de sustituci´on

5

3. M´etodo de igualaci´on

9

4. M´etodo de eliminaci´on

13

5. Conclusi´on

16

1
Sistemas de ecuaciones lineales
En este documento estudiaremos sistemas de ecuaciones lineales 2 × 2, es decir, de dos
ecuaciones y dosinc´ognitas. Estos sistemas tienen la siguiente forma:

Sistema

de ecua
c

iones li
nea

les

a11 x +
a12 y =
b
a21 x +
a22 y = 1
b2

El problema a resolver es encontrar el valor de las inc´ognitas x, y tales que las dos
ecuaciones sean verdaderas.
En un sistema de ecuaciones lineales siempre tenemos solo uno de los tres casos siguientes:
1. El sistema tiene una u´ nicasoluci´on.
2. El sistema no tiene soluci´on.
3. El sistema tiene m´as de una soluci´on (infinidad de soluciones).
Los m´etodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales se ver´an a continuaci´on,
sin embargo, todos ellos nos deben de dar la misma soluci´on.

2

Antes de revisar los m´etodos podemos mencionar un criterio que nos permitir´a saber
si el sistema tiene o´ no, una u´ nicasoluci´on:

n u´ nica
Solucio´
El siste

ma

b1
a12y =
+
x
a11
b2
a22y =
+
x
a21
i
y so´ lo s
i
s
n
´
o
i
c
solu
a u´ nica
0
tiene un
a12a21 =
−
2
a
2
a11

Si a11 a22 − a12 a21 = 0, y
1. a11 , a12 , b1 son m´ultiplos de a21 , a22 , b2 , respectivamente. Entonces el sistema tiene
una infinidad de soluciones.
2. a11 , a12 son m´ultiplos de a21 , a22 respectivamente,pero b1 no lo es de b2 . Entonces
el sistema no tiene soluci´on.

Ejemplos:
Ejemplo 1 Consideremos el sistema
2x + 3y = 1
3x − y = −1
como (2)(−1) − (3)(3) = −2 − 9 = −11 = 0, entonces el sistema tiene una u´ nica
soluci´on.
Ejemplo 2 Consideremos el sistema
3x + 4y = 4
6x − 2y = 2
como (3)(−2) − (6)(4) = −6 − 24 = −30 = 0, entonces el sistema tiene una
u´ nica soluci´on.
Ejemplo 3Consideremos el sistema
2x + y = 6
4x + 2y = 1

3

como (2)(2)−(4)(1) = 4−4 = 0, entonces el sistema NO tiene una u´ nica soluci´on,
pero como 4x + 2y es el doble de 2x + y, pero 1 no es el doble de 6, el sistema NO
tiene soluci´on.
Ejemplo 4 Consideremos el sistema
3x − 3y = 2
x−y = 5
como (3)(−1) − (−3)(1) = −3 + 3 = 0, entonces el sistema no tiene una u´ nica
soluci´on. Y como laprimera ecuaci´on es el triple de la segunda, pero 2 no es el
triple de 5. Tenemos que el sistema no tiene soluci´on.
Ejemplo 5 Consideremos el sistema
1
1
x + y = −3
2
3
3
x + y = −1
2
1 3
1
como ( )(1) − ( )( ) = 0, entonces el sistema NO tiene una u´ nica soluci´on. Y
2
3 2
como la segunda ecuaci´on es el triple de la primera, incluyendo la constante, por
lo tanto el sistematiene una cantidad infinita de soluciones.

4

2
´
´
Metodo
de sustitucion
El m´etodo de sustituci´on trabaja de la siguiente manera:
1. De la primera ecuaci´on se despeja una inc´ognita, digamos x.
2. Se sustituye la inc´ognita despejada en la segunda ecuaci´on.
3. Se reduce la segunda ecuaci´on, y se encuentra el valor de y.
4. Finalmente se sustituye el valor de y, en la ecuaci´on delpaso 1, y se encuentra x.
Es posible cambiar de inc´ognita.

Ejemplos:

o 2.1
Ejempl
a
l sistem
e
r
e
v
l
o
Res
= 1
x+y
= 1
x−y

Paso 1 Despejamos de la primera ecuaci´on a x, entonces x = 1 − y.
Paso 2 Sustituimos a x = 1 − y, en la segunda ecuaci´on:
x−y = 1
(1 − y) − y = 1

5

Paso 3 Reducimos la ecuaci´on anterior:
(1 − y) − y
1 − 2y
1−1
0

=
=
=
=

11
2y
2y

de donde y = 0.
Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = 0, en la ecuaci´on del paso 1, x = 1−y. Entonces
x = 1 − (0) = 1.
Paso 5 Por tanto la soluci´on del sistema es:
x = 1
y = 0

Resolve
r

6

Ejempl
o 2.2
el sistem
a
2x + y
= 3
3x + 2y
= 2

Paso 1 Despejamos de la primera ecuaci´on a x, entonces x =
Paso 2 Sustituimos a x =

3−y
, en la segunda...