ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN





ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN


Curso:
Cálculo II

Alumnos:

Berrú Vásquez, Anthony
Cacho Soto, Pierre
Loconi Cerqueda, Oscar
Romero Max, Brenda Lorens
Teran Romero, Jenny Lorena

Profesor:
Martell Cusquipoma, Jaime Elmo


Cajamarca 24 de Noviembre de 2014

INTRODUCCIÓN

En ingeniería, hay muchos problemas de interés que, cuando seplantean, exigen la determinación de una función la cual debe verificar una ecuación que involucra derivadas de la función desconocida. Dichas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales. Tal vez el ejemplo más conocido es la ley de Newton. Por algo sus renombrados "Principios matemáticos de la filosofía natural" (1687) que engloban mecánica newtoniana, arrancan con la ecuación diferencial delmovimiento. Esta ecuación se considera como axioma, mientras que los planteamientos posteriores de la mecánica son, de hecho, teoremas que se derivan de dicho axioma, así como de la ley de gravitación universal que se desgaja de los hechos experimentales (leyes de Kepler) En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es la que contiene una función desconocida de unavariable independiente y relacionada con sus derivadas: una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables).














RESUMEN


En las siguientes páginas trataremos el tema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden homogéneas, además de sus diversas aplicaciones.Presentaremos su definición y cada una de sus propiedades de manera que se tenga un fundamento adecuado para comprender su importancia en casos de la vida cotidiana.
Para ello propondremos diversos casos resueltos que nos den una mejor visión del tema y de este modo afianzar los conocimientos y procesos que se irán desarrollando en este informe.
Finalmente Propondremos ejercicios para que ellector pueda desarrollarlos y obtener un mayor alcance de lo aprendido, como también las conclusiones respectivas del tema tratado.















1. DEFINICIÓN:

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden que son importantes en las ciencias físicas son ecuaciones lineales con forma general

+ p(x) + q(x)y = r(x)

Si la función r(x) es cero, se dice que la ecuación:

+p(x) + q(x)y = 0

Es homogénea.

En caso contrario se dice que es no homogénea. Las funciones p(x) y q(x) son los coeficientes de la educación. Cuando estos coeficientes son constantes las soluciones de la ecuación se pueden expresar mediante funciones elementales.
Ecuaciones lineales homogéneas
La ecuación lineal de segundo orden con coeficiente constante tiene la forma general:

+ a +by = 0

Siendo a y b constantes. Siempre es posible encontrar una solución de esta ecuación de la forma , donde λ es una constante adecuada.





2. PROPIEDADES:


2.1 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes

Se ha visto que la ecuación diferencial lineal de primer orden , en donde a es una constante, tiene la solución exponencial en .
Por consiguiente, esnatural tratar de determinar si existen soluciones exponenciales en , de ecuaciones de orden superior como


En donde los son constantes. Lo sorprendente es que todas las soluciones de la ecuación (1) son funciones exponenciales o se construyen a partir de funciones exponenciales. Se empezara considerando el caso particular de la ecuación de segundo orden:


2.2 Ecuación auxiliar:
Si seensaya una solución de la forma , entonces y de modo que la ecuación (2) se transforma en



O bien


Como nunca se anula para los valores reales de x, es evidente que la única manera de que esta función exponencial pueda satisfacer la ecuación diferencial es eligiendo m de modo que sea una raíz de la ecuación cuadrática

Esta última ecuación se llama ecuación auxiliar o ecuación...