Guia Montezuma Algebra Lineal

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS PURAS Y APLICADAS
MATEMATICA III (MA-1116)

Abril-Julio 2008

PRACTICA 1
Contenido: Matrices. Operaciones con matrices. Sistemas de m ecuaciones con n incógnitas.
Operaciones elementales de fila. Matriz escalonada, escalonada reducida. Métodos de Gauss y
Gauss-Jordan. Sistemas con una solución, con infinitas soluciones einconsistente: homogéneos
y no homogéneos. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
.
Nota: Además de los ejercicios aquí propuestos los estudiantes deben realizar los ejercicios de
las secciones 1.3, 1.4, 1.5, 1.6 y 1.7 del texto.
1. Dadas las matrices:
A

§ 3 0  1·
¨¨
¸¸ , B
© 2 1  2¹

donde i 2

§1 4·
¨¨
¸¸ ,
©0 1¹

§ 5 2·
¨
¸
¨ 1 0¸ ,
¨1 1¸
©
¹

C

§2 1 1·
¨
¸
¨ 0 13¸ , E
¨1 5 2¸
©
¹

D

§i i ·
¨¨
¸¸ , F
©3 4  i ¹

§0 1 i·
¨¨
¸,
5 ¸¹
©i

1

Calcule: a) B + AC

b) 2E – iF

2

c) DC – 2C

d) F + B

Solución:

§ 0 1·
¨
¸
c) ¨  6 3 ¸
¨ 10 2 ¸
©
¹

§ 2i 1  3i ·
¸¸
b) ¨¨
© 7 8  3i ¹

§17 9 ·
¸¸
a) ¨¨
© 13 3 ¹

§ i 9  5i ·
¸¸
d) ¨¨
© 5i 25  i ¹

2. Dadas las matrices:
A

§ 2a 3 ·
¨¨
¸¸ ,
© 5 0¹B

§12  1·
¨¨
¸¸
©0 d ¹

y

C

§ 4
¨ 1
¨¨ 
© c

b 2 ·¸
3 ¸¸
¹

Donde a, b y c son números reales, con c distinto de cero, determine a, b y c tal que:
2A – B = 4C.
Solución:
a

3. a) Verifique que la matriz A

7, b

r

7
, c
2



§a i ·
¨¨
¸¸ , donde i 2
© i b¹

2
5

y

d

1 , a

12





1
1 5 , b
2





1
1  5 , tiene la2

2

propiedad A
A.
b) Dé un ejemplo de una matriz que no tenga esa propiedad.
4. Dada la matriz A

§ 2  1·
¨¨
¸¸ , halle un vector columna x
©1 3 ¹

§a·
¨¨ ¸¸ , tal que A x
©b¹

§1·
5 x  ¨¨ ¸¸ .
© 3¹

1

Solución:
Ax

§ 2  1· § a ·
¨¨
¸¸ ¨¨ ¸¸
©1 3 ¹ ©b¹

§ 2a  b ·
¨¨
¸¸
© a  3b ¹

mientras que,
§1·
5 x  ¨¨ ¸¸
© 3¹

luego, A x

§ a · §1·
5¨¨¸¸  ¨¨ ¸¸
© b ¹ © 3¹

§ 5a  1 ·
¨¨
¸¸
© 5b  3 ¹

§1·
5 x  ¨¨ ¸¸ , si y sólo si:
© 3¹
§ 5a  1 ·
¨¨
¸¸ ,
© 5b  3 ¹

§ 2a  b ·
¨¨
¸¸
© a  3b ¹

lo cual es cierto si y sólo si:
2a  b

5a  1

a  3b

y

5b  3

es decir, si
3a  b

1

y a  2b

3

luego, el problema se reduce a resolver el sistema de ecuaciones

3a  b
a  2b

cuya solución es a1
, b
7

10
 , de donde, x
7

1
3

§ 1 ·
¨
¸
¨ 7 ¸.
¨  10 ¸
¨
¸
© 7¹

5. Dado el sistema de ecuaciones:
x1
4 x1




x2
x2

 x3
 5 x3

7
4

6 x1



x2

 3x3

18

a) Escriba la matriz aumentada del sistema
b) Utilice el método de eliminación de Gauss para determinar todas las soluciones, si
existen, del sistema dado.

Solución:

§1 1 1
¨a) La matriz aumentada del sistema es ¨ 4  1 5
¨6 1
3
©

7·
¸
4¸
18 ¸¹

Al aplicar el método de Gauss a la matriz ampliada, se obtiene que ésta es equivalente a la
matriz

§1 1 1
¨
¨0 1  9
5
¨
¨0 0 0
©

7 ·
24 ¸¸
5 ¸
0 ¸¹

2

Por lo tanto, el sistema dado es equivalente al sistema:
x1



x2



x2



x3
9
x3
5

7
24
5

el cual tieneinfinitas soluciones.
Despejando

x 2 en la segunda ecuación, se tiene:
24  9 x3
,
5

x2
sustituyendo el valor de

x 2 en la primera ecuación, resulta:

11  4 x3
,
5
O , las soluciones del sistema planteado son:
11  4O
24  9O
, x2
, x3 O , con O  R
x1
5
5
x1

si hacemos x3

6. Exprese los sistemas de ecuaciones dados de la forma A x
3x1
a)  x1
5 x1

 6 x2
 x2
2 x2

 2 x3
 4 x3
 x3

10
9

b)

3

b

2 x  6 y  10 z
x  y  z
3x

 7 y  11z

6
2
4

Solución:

§ 3 6  2 · § x1 ·
¨
¸¨ ¸
a) ¨  1 1 4 ¸ ¨ x 2 ¸
¨ 5 2 1 ¸ ¨x ¸
©
¹© 3¹

§ 10 ·
¨ ¸
¨ 9 ¸
¨  3¸
© ¹

§  2 6  10 · § x ·
¨
¸¨ ¸
b) ¨ 1  1 1 ¸ ¨ y ¸
¨ 3  7 11 ¸ ¨ z ¸
©
¹© ¹

§ 6 ·
¨ ¸
¨ 2 ¸
¨  4¸
© ¹

7. Resuelva los sistemas de...