guia multivariable

Universidad de la Frontera
Facultad de Ingenier´a y Ciencias
ı
Departamento de Matem´ tica y Est.
a

C´ lculo Multivariable (IME186) - 2014
a

Problemas Propuestos
´
Integrales multiples, l´nea y superficie
ı
√

√

2/2

1−x2

1. Sea Rxy =

11. Sea R la regi´ n acotada del espacio, dentro de la suo
perficie: 16x2 + 16y 2 − z 2 = 0 y bajo la superficie
x2 + y 2 − z + 3 = 0.a) Grafique R.
b) Exprese R en coordenadas cil´ndricas.
ı
c) Calcule R.

xydydx
2

x

a) Bosqueje la regi´ n de integraci´ n.
o
o
b) Invierta el orden de integraci´ n.
o
c) Calcule Rxy en coordenadas rectangulares o polares.
1

1

2. Calcule la integral iterada:

√
3

0

1 + x4 dxdy

12. Sea S la regi´ n dentro del cilindro x2 − 4x + y 2 = 0,
o
sobre el plano xy, ybajo el cono 3x2 + 3y 2 − z 2 = 0, e

y

3. Exprese como una sola integral iterada y halle su valor
2
1

y
1

ln x
dxdy +
x

4
2

2
y/2

I=

zdxdydz
S

ln x
dxdy
x

a) Exprese I como integral iterada en coordenadas
cil´ndricas o bien esf´ ricas.
ı
e
b) Calcule I

y−x

e y+x dxdy, donde D es el tri´ ngulo detera

4. Calcule

13. Sea W la regi´ n en el primeroctante acotada por los
o
planos x = 0, z = 0, x + y = 2, x + 2y = 6 y el cilindro x2 + y 2 = 4.
a) Grafique W .

D

minado por la recta x + y = 2 y los ejes coordenados.
2

(x + y) ex−y dxdy donde R es la regi´ n
o

5. Calcule
R

acotada por x + y = 1, x + y = 4, x − y = −1,
x − y = 1.
1

14. Sean S la regi´ n de R3 acotada inferiormente por z 2 =
o
16 x2 + y 2 y superiormentepor z − 3 = x2 + y 2 , e

ex+y dydx
−1

−2|x|
√

4

y

7. Sea Ryx =

S

en coordenadas cil´ndricas.
ı

y/4

a) Invierta el orden de integraci´ n.
o
b) Exprese Ryx como una integral triple.
c) Grafique el dominio de integraci´ n
o
0

15. Sean D la regi´ n de R3 acotada por las superficies
o
8x2 + 8y 2 − z 2 = 0, x2 + y 2 + z − 6 = 0,

√

9. Halle I =
−a

−

Da) Grafique D.
b) Exprese I como integral iterada en coordenadas rectangulares, cil´ndricas y esf´ ricas.
ı
e

a2 −x2

√

x2 + y 2 dxdydz

I=

0

y
8. Sea Ryx =
−
dxdy.
√
2
−2 − 2y+4
a) Grafique el dominio de integraci´ n.
o
b) Invierta el orden de integraci´ n.
o
a

x2 ydxdydz. Exprese I como integral iterada

I=

(x + y) dxdy.
0

W

rada.

|x|

6. Hallef (x, y, z) dxdydz como integral ite-

b) Exprese

16. Sea D la regi´ n del plano, sobre el eje xy, acotada por
o
las curvas x2 +y 2 −3x = 0, x2 +y 2 −3x = 3 x2 + y 2
a) Grafique D en el plano xy.
´
b) Calcule el area de D.

(x + y) dydx
a2 +x2

10. Sea D la regi´ n del primer octante, dentro de x2 + y 2 =
o
4 y fuera de 25 x2 + y 2 = z 2 .
a) Exprese D en coordenadascil´ndricas.
ı
dxdydz
b) Calcule:
x2 + y 2
D

2

17. Considere
−2

−y

0
√
− 4−x2

f (x, y, z) dzdydx.
0

a) Grafique la regi´ n de integraci´ n.
o
o
1

b) Transf´ rmela en otra integral iterada cambiando el
o
orden de integraci´ n.
o

donde C es la curva
z

18. Calcule

F · dr

c) Calcule, usando a) y b), el valor de I =

x2 + y 2 dxdydz, si

x
y

C

= t3 − 2t= 5t + 3

t ∈ [0, 1]

D

19. Calcule

√
2
2x−x2
0 0

a
0

z

8. Sea C la parte de la curva x2/3 + y 2/3 = 1 contenida en
el primer cuadrante, orientada en sentido antihorario.

2x − x2 , 0 ≤ z ≤ 2

D = 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤

a) Muestre que la siguiente integral es independiente de
la trayectoria y calcule:

x2 + y 2 dzdydx, a > 0

(ex cos y − ey sin x)dx + (ey cos x − exsin y)dy
C

1.

Integrales de L´nea
ı
C

x2 y 2
+
= 1, que est´ en el primer
a
4
9
cuadrante, que va desde (2, 0) a (0, 3).
la parte de la elipse

a) Calcule I, directamente.

x2 + y 2 + z 2 = 4
que
x−y =0
est´ sobre el plano xy, orientada de modo que el punto
a
inicial est´ en el primer cuadrante del plano
a

2. Sea C la parte de la curva:

b) Pruebe que I es...