Herramientas matematicas para la localizacion

TEMA 3: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS PARA LA LOCALIZACIÓN INDUSTRIAL

Ingeniería de Sistemas y Automática

Control de Robots y Sistemas Sensoriales

Robótica Industrial
ISA.- Ingeniería de Sistemas y Automática

Indice
– Introducción — Morfología del robot ˜ Herramientas matemáticas para la localización espacial ™ Cinemática del robot š Dinámica del robot › Control cinemático œ Controldinámico  Programación de robots ž Criterios de implantación de un robot Ÿ Aplicaciones de los robots
Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas 1

Herramientas matemáticas para la localización espacial
Representación de la posición Representación de la orientación Matrices de transformación homogénea Cuaternios Relación y comparación entre métodos
Robotica Industrial- HerramientasMatemáticas 2

Localización espacial
Manipulación de piezas
Movimiento espacial del extremo del robot

Necesidad de herramientas matemáticas para especificar posición y orientación
Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas 3

Representación de la posición en coordenadas cartesianas
Z Y p(x,y,z) x p(x,y) 0 a o y x y X 2 dimensiones X 3 dimensiones z Y

Robotica Industrial- HerramientasMatemáticas

4

Representación de la posición en coordenadas polares/cilíndricas
Z Y p(r,0,z) p(r,0) O r 0 0 O X X r z Y

Polares

Cilíndricas

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

5

Representación de la posición en coordenadas esféricas
Z

0 r O

p(r,0,0)

Y

0 X

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

6

Representación de la orientación. Matricesde Rotación 2D
Y Y V V jy jv O a) U O b) iu ix U α X

X

p xy = p x , p y

p uv = [p u , p v ] = p u ⋅ i u + p v ⋅ j v
T

[

]

T

= p x ⋅ i x + p y ⋅ jy

px  pu   = R  pv p y

 i x iu R=  jy iu 

i x jv   j y jv  

 cos α R =  sen α

- sen α   cos α 

• Una matriz de rotación es ortonormal: R-1=RT
Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas7

Representación de la orientación. Matrices de Rotación 3D (I)
Z Z W W α α O U X a) X b) V α Y

O U

V

Y

puvw = [ pu , p v , p w ] = pu ⋅ i u + p v ⋅ jv + p w ⋅ k w
T

pxyw = [ p x , p y , p z ]T = p x ⋅ i x + p y ⋅ j y + p z ⋅ k z
 i x i u i x jv i x k w    R =  j y i u jy jv j y k w   k z i u k z jv k z k w   

 px    p y  = R p   z

 pu     pv p   w
0   - senα  cos α  
8

1 0  R( x ,α ) = 0 cos α 0 senα 

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

Representación de la orientación. Matrices de Rotación 3D (II)
Z Z φ W O φ φ X U a) X b) V Y θ O θ θ U W V Y

 cos φ  R( y ,φ ) =  0 − sen φ 

0 sen φ   1 0  0 cos φ  

cos θ  R( z ,θ ) = sen θ  0 

− sen θ cos θ 0

0  0 1 

RoboticaIndustrial- Herramientas Matemáticas

9

Representación de la orientación. Composición de rotaciones
Orden de la composición:

‚ Rotación sobre OX ƒ Rotación sobre YO „ Rotación sobre OZ
Cθ  T = R( z ,θ ) R( y ,φ ) R( x ,α ) =  Sθ 0  CθCφ  =  SθCφ  − Sφ  − Sθ Cθ 0 0  0 1   Cφ 0 Sφ    0 1 0    − S φ 0 Cφ    1 0  0 Cα 0 Sα  0   − Sα  = Cα  

− SθCα +CθSφSα CθCα + SθSφSα CφSα

SθSα + CθSφCα   − CθSα + SθSφCα   CφCα 
10

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

Representación de la orientación. Angulos de Euler
‚ Girar el sistema OUVW un ángulo φ con respecto al eje OZ, ƒ „
convirtiéndose así en el OU'V'W'. Girar el sistema OU'V'W' un ángulo θ con respecto al eje OU', convirtiéndose así en el OU''V''W''. Girar el sistema OU''V''W''un ángulo ψ respecto al eje OW'' convirtiéndose finalmente en el OU'''V'''W'''
W '' W ''' ψ θ V ''' ψ V '' θ V' φ Y V ψ U ''' Z W W' φ

O φ θ UX U ' U ''

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

11

Representación de la orientación. Roll, Pitch y Yaw
‚ Girar el sistema OUVW un ángulo ψ con respecto al eje OX. (Yaw) ƒ Girar el sistema OUVW un ángulo θ con respecto al eje...