homotecia

Páginas: 4 (940 palabras) Publicado: 8 de febrero de 2015
Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón (λ) diferente de 1 deja un único puntofijo, llamado centro.



Índice [ocultar]
1 Definición
2 Homotecias en el plano real
3 Ejes de homotecia
4 Referencias 4.1 Bibliografía



Definición[editar]





Esquema deoperación de una homotecia, en el plano euclídeo.
Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo \scriptstyle \mathbb{K}. Sea X un elemento (visto como un punto) de E. La homotecía de centro C y de razón k,denotada \scriptstyle h_{C, k} envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que:


(1a)M'- C = k(M-C)\,

La ecuación anterior puede escribirse también como una transformación afínde la forma:


(1b)M' = kM + (1-k)C \,

La anterior relación puede escribirse vectorialmente en el plano como:


\begin{bmatrix} m'_x \\ m'_y\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & 0 &(1-k)c_x \\ 0 & k & (1-k)c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_x \\ m_y\\ 1 \end{bmatrix}

Donde: M' = (m'_x, m'_y)\,, M = (m_x, m_y)\, y C = (c_x, c_y)\,.
En tres o más dimensiones lafórmula anterior se generaliza trivialmente.


La homotecia es una transformación afín, composición de una transformación lineal y una traslación, y por consiguiente conserva:
1.el alineamiento: lasimágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
2.el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes.En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
3.La imagen de línea es otra línea paralela a la original.
4.el paralelismo: dos líneas paralelas tienen imágenes paralelas.En la figura (B'E') // (C'D') porque (BE) //(CD).

5.Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos).
6.k = - 1...
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