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Distribución exponencial
Mientras que la distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo, la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson el tiempo entre estas llegadas es exponencial. Mientras que la distribución de Poisson es discreta la distribución exponencial es continua porque el tiempo entre llegadas notiene que ser un número entero. Esta distribución se utiliza mucho para describir el tiempo entre eventos. Más específicamente la variable aleatoria que representa al tiempo necesario para servir a la llegada.
Ejemplos típicos de esta situación son el tiempo que un medico dedica a una exploración, el tiempo de servir una medicina en una farmacia, o el tiempo de atender a una urgencia.
El uso de ladistribución exponencial supone que los tiempos de servicio son aleatorios, es decir, que un tiempo de servicio determinado no depende de otro servicio realizado anteriormente ni de la posible cola que pueda estar formándose. Otra característica de este tipo de distribución es que no tienen "edad" o en otras palabras, "memoria". Por ejemplo. Supongamos que el tiempo de atención de un paciente enuna sala quirúrgica sigue una distribución exponencial. Si el paciente ya lleva 5 horas siendo operado, la probabilidad de que esté una hora más es la misma que si hubiera estado 2 horas, o 10 horas o las que sea. Esto es debido a que la distribución exponencial supone que los tiempos de servicio tienen una gran variabilidad. A lo mejor el próximo paciente operado tarda 1 hora porque su cirugía eramucho más simple que la anterior.

Ejemplos

El tiempo durante el cual cierta marca de batería trabaja en forma efectiva hasta que falle (tiempo de falla) se distribuye según el modelo exponencial con un tiempo promedio de fallas igual a 360 días.
a) ¿qué probabilidad hay que el tiempo de falla sea mayor que 400 días?.
b) Si una de estas baterías ha trabajado ya 400 días, ¿qué probabilidadhay que trabaja más de 200 días más?
c) Si se están usando 5 de tales baterías calcular la probabilidad de que más de dos de ellas continúen trabajando después de 360 días.
Solución
Sea X=el tiempo que trabaja la batería hasta que falle. El tiempo promedio de falla es de 360 días. Entonces, X ~Exp (ß=1/360) y su función de densidad es:


Distribución de Poisson
    Esta distribución es unade las más importantes distribuciones de variable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelización de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideración límitede procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña .  
Proceso experimental del que se puede hacer derivar
    Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental de observación en el que tengamos las siguientes características
· Se observa la realización de hechos de cierto tipo durante un cierto periodo de tiempo oa lo largo de un espacio de observación
· Los hechos a observar tienen naturaleza aleatoria ; pueden producirse o no de una manera no determinística.
· La probabilidad de que se produzcan un número x de éxitos en un intervalo de amplitud t no depende del origen del intervalo (Aunque, sí de su amplitud)
· La probabilidad de que ocurra un hecho en un intervalo infinitésimo es prácticamenteproporcional a la amplitud del intervalo.
· La probabilidad de que se produzcan 2 o más hechos en un intervalo infinitésimo es un infinitésimo de orden superior a dos.
En consecuencia, en un intervalo infinitésimo podrán producirse O ó 1 hecho pero nunca más de uno
· Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que la variable aleatoria X signifique o designe el "número de hechos que se...