Inecuaciones racionales

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INECUACIONES RACIONALES

Ing. José Luis Albornoz Salazar

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INECUACIONES RACIONALES
Existen varios métodos para resolver este tipo de inecuaciones, en estos ejercicios vamos a utilizaruno que consideramos más sencillo y sobre todo tiene la particularidad de que paralelamente a su resolución permite comprobar si los intervalos cumplen o no con la desigualdad planteada. Pasos del método recomendado: 1) Se calculan los valores críticos o de interés de la variable y se señalan sobre la recta real. Estos valores de “X” serán aquellos que anulan al numerador y al denominador de lainecuación. 2) Una vez indicados estos valores, la recta real quedará dividida en intervalos. 3) Se escoge un valor en cada uno de los intervalos y se sustituye en la inecuación inicial. Si se cumple para el punto escogido se cumplirá para todos los puntos que se encuentren en dicho intervalo y viceversa. 4) Para indicar si los extremos de cada intervalo son abiertos o cerrados se debe tomar encuenta lo siguiente:  El valor donde el denominador se anula NO formará parte de la solución porque la división por cero es indeterminada (siempre se indicará como intervalo abierto).  En el valor donde se anule el numerador se tomará en cuenta el signo de la desigualdad (intervalo cerrado si es “≤” o “≥”. Intervalo abierto si es “”).

Estudiando el denominador : 4 + 2X = 0 ; 2X = – 4 ; X = ; X =–2

Esto nos indica que “X” no puede tomar el valor de “– 2” ya que anularía al denominador y la división por cero es indeterminada. Luego en la recta real debo colocar un circulo “hueco” ( ) en “– 2” para indicar que NO forma parte de la solución (intervalo abierto) –∞
-2
0

+∞

Estudiando el numerador : Muchos autores y profesores recomiendan “pasar” primero todos los términos al ladoizquierdo del signo de la desigualdad. Como esto trae algunas dificultades a los alumnos menos aventajados, recomendamos resolver la inecuación como una ecuación y resultará más cómodo : ; 3X – 1 = 1 (4 + 2X) ; ; X = 5 3X – 1 = 4 + 2X

3X – 2X = 4 + 1

Como la desigualdad es del tipo “≤” el “5” formará parte de la solución, en la recta real colocamos un circulo “relleno” para indicar que es elextremo de un intervalo cerrado ( ). –∞ +∞

-2

0

5

La recta real queda dividida en 3 intervalos :

(–∞,–2)

;

(–2,5]

;

[5,+∞)

EJERCICIO 1 :

Resolver Solución :
INECUACIONES RACIONALES

Para saber cuál o cuáles de estos intervalos cumplen con la desigualdad, escojo un valor dentro de cada intervalo, lo sustituyo en la inecuación inicial y observo si cumple o no conella. Si un punto de un intervalo cumple con la inecuación, cumplirán todos los puntos de ese intervalo y viceversa.

Ing. José Luis Albornoz Salazar

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Se puede escoger cualquiera de los puntos de cada intervalo. Estudiando el intervalo ( – ∞ , – 2 ) : escojo el valor “– 3” (está ubicado a la izquierda de “– 2 “) y lo sustituyo en la inecuación inicial ;

;

1,06 ≤ 1

; ;
5 ≤1Como “1,06” NO es menor ni igual a “1” significa que “6” no cumple con la inecuación y por lo tanto ninguno de los valores que están en el intervalo [ 5 , + ∞ ) cumple. NO –∞
-2
0

SI
5

NO +∞

Como “5” NO es menor ni igual a “1” significa que “– 3” no cumple con la inecuación y por lo tanto ninguno de los valores que están en el intervalo ( – ∞ , – 2 ) cumple. NO –∞
-2
0

La soluciónpuede ser mostrada de tres formas : En forma gráfica: /////////////////////////////////////////////// –∞ En forma de intervalo: X = (–2,5] En forma de conjunto: X = {XЄR ⁄ –2 < X ≤ 5}
-2
0

5

+∞

5

+∞

Estudiando el intervalo ( – 2 , 5 ] : escojo el valor “0” (está ubicado entre “– 2” y “ 5”) y lo sustituyo en la inecuación inicial

;
; – 0,25 ≤ 1

Como “– 0,25 ” SI es menor a...