ingeniero civil

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Ingenier´a Matematica
ı
FACULTAD DE CIENCIAS
´
F´SICAS Y MATEMATICAS
I
UNIVERSIDAD DE CHILE
´
Algebra Lineal 08-2

SEMANA 1: MATRICES

1.
1.1.

Matrices
´
Definiciones basicas

Definici´n 1.1 (Matriz). Una matriz A, de m filas y n columnas con
o
(en este apunte
ser´
a
o ) es una tabla de
´
coeficientes en el cuerpo
doble entrada:

Ã



a11
 .
A= .
.

am1···

Ã


a1n
. ,
. 
.

aij ∈

· · · ... amn

Ã,

∀i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

Ã

Notamos tambi´n la matriz como A = (aij ) y denominamos Mmn ( ) al
e
conjunto de todas las matrices de m filas y n columnas con coeficientes en
el cuerpo .

Ã

(m = m′ ) ∧ (n = n′ ) ∧ (∀i ∈ {1, ..., m}, j ∈ {1, ..., n}, aij = bij )
Un caso especial de matrices son aquellas de n ×1. Estas matrices se llaı
a
mar´n posteriormente vectores de n . As´ nuestros vectores ser´n matria
ces de una sola columna.

Ã

Ã

Construimos una estructura algebraica sobre Mmn ( ) a partir de las operaciones definidas en el cuerpo . Se define la suma de dos matrices como
sigue:
∀A, B ∈ Mmn ( ), A + B = (aij + bij )

Ã
Ã

Ê

Por ejemplo, en ( , +, ·):

1
2
3
0 −1 −2

+0 −1
3
1

2
2

=

1 1
3 0

5
.
0

Es f´cil verificar que
a

Ã

Proposici´n 1.1. (Mmn ( ), +) tiene estructura de grupo Abeliano.
o
´
Demostracion. La suma es asociativa y conmutativa, como herencia de
las mismas propiedades en el cuerpo .
El neutro aditivo es


0 ... 0
.
.
0 =  . . . . .  ∈ Mmn ( ).
.
.

Ã

Ã

0

...

0

1

Ã

Mmn ( )Definici´n 1.2 (Igualdad de matrices). Dadas dos matrices A ∈ Mmn ( ), B ∈
o
Mm′ n′ ( ), diremos que son iguales si y s´lo si:
o

Ã

Usa estas notas al
margen para consultar de manera
m´s r´pida el maa a
terial. Haz tambi´n tus propias
e
anotaciones.

matriz

Ê

Ã

´
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
ı

Importante: Visita regularmentehttp://www.dim.uchile.cl/∼docencia/algebra lineal.
Ah´ encontrar´s las gu´ de ejercicios y problemas, adem´s
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a
ıas
a
de informaci´n acerca de cu´l ser´ la din´mica del curso.
o
a
a
a

A=B

vector de

Ãn

A+B

Ã

0 ∈ Mmn ( )

El inverso aditivo de A = (aij ) es −A = (−aij ). Por ejemplo, en M23 ( ):

i−i
1−1

Luego

0+0
−i + i

−

=

i
0 0
1 −i 0

0+0
0+0
=

=

00

=
0 0
0 0

−i 0 0
−1 i 0

= 0.

.

Ã

Definici´n 1.3 (Producto de matrices). Dadas A = (aij ) ∈ Mmr ( ), B =
o
(bij ) ∈ Mrn ( ) se define el producto C = AB como aquella matriz
C ∈ Mmn ( ) tal que

Ã

Ã

r

cij =

aik bkj ,

i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

k=1

Ã

Claramente C ∈ Mmn ( ).
Ejemplos:

Ê

1. En ( , +, ·),
A=

1
1

⇒C = A·B =

1
1

1 2
∈ M23 ( ), B = 0 2
1 0


1 2 −1 0
−1 0 
1 0
0 2 −1 0 =
2 1
2 6
1 0 −1 1

Ê

−1 0
2 1


−1 0
−1 0 ∈ M34 ( )
−1 0

Ê

0 0
−4 1

2. En ( , +, ·),
A = (−i, i, 0) ∈ M13 ( )
 
i
B = 1 ∈ M31 ( )
0

⇒

C = AB = −i · i + i · 1 + 0 · 0· = 1 + i ∈ M11 ( ).

Observaci´n: La multiplicaci´n de matrices no es conmutativa.
o
o
Por ejemplo en M22 () :

Ê

1
0

0
0

0 0
2 0

=

0 0
,
0 0

0 0
2 0

2

1
0

0
0

=

0 0
.
2 0

Ê

∈ M24 ( ).

´
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
ı

i
0 0
−i 0 0
+
1 −i 0
−1 i 0

−A

A·B

Proposici´n 1.2.
o
1. Asociatividad: Si A ∈ Mmn ( ), B ∈ Mnq ( ), C ∈ Mqs ( ), entonces:
A(BC) = (AB)C ∈ Mms ( ).

Ã

Ã
Ã

Ã

Ã

2.Distributividad con respecto a la suma: Dadas A ∈ Mmn ( ), B, C ∈
Mns ( ), entonces

Ã

Ã

A(B + C) = AB + AC ∈ Mms ( ).
De igual manera se tiene la distributividad por el otro lado.
´
Demostracion. Demostremos la distributibidad, quedando la asociatividad de ejercicio. Denominando E = A(B + C), se tiene:
n

eij =

aik (bkj + ckj )
k=1

∀i ∈ {1, ..., m}, j ∈ {1, ..., s}....