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DENSIDAD Y MASA
En la sección 8.3 fue posible usar las integrales simples para calcular momentos y el centro de masa de una delgada placa o lamina con densidad constante. Pero ahora equipado con la integral doble, puede considerar una lamina con densidad variable. Suponga que la lamina ocupa una regsion D del plano xy y su densidad (en unidades de área) en un punto (x,y) en D esta dada porρ(x,y), donde ρ es una función continua en D. Esto significa que

donde y son la masa y el área de un rectángulo pequeño que contiene a (x,y) y el limite se toma cuando las dimensiones del rectángulo se aproximan a 0. (Vease figura 1.)




Para hallar la masa total m de la lamina, se divide un rectángulo R que contiene a D en subrectangulos Rij del mismo tamaño (como en la figura 2) y seconsidera que ρ(x,y) es 0 fuera de D. Si se elige un punto (ij, ij) en Rij, entonces la masa de la parte de la lamina que ocupa Rij es aproximadamente ρ(ij, ij), donde es el área de Rij. Si se suman todas las masas, se obtiene una aproximación de la masa total:

Si ahora se incrementa el numero de subrectangulos, se obtiene la masa total de la lamina como el valor limite de las aproximaciones:Los físicos consideran también otros tipos de densidad que se pueden tratar de la misma manera. Por ejemplo, si se distribuye una carga eléctrica sobre una región D y la densidad de carga (en unidades de carga por área unitaria) esta dada por en un punto en D, entonces la carga total esta dada por

Ejemplo 1 La carga esta distribuida sobre la región triangular D en la figura 3 de modo que ladensidad de carga en es = , medida en coulombs por metro cuadrado (C/m2). Determine la carga total.
SOLUCION De la ecuación 2 y la figura 3 se tiene








==

=
Asi, la carga total es C.

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA
En la sección 8.3 se encuentra el centro de masa de una lamina con densidad constante; aquí se considera una lamina con densidad variable.Suponga que la lamina ocupa una región D y tiene la función de densidad . Recuerde del capitulo 8 que el momento de una particula se define respecto a un eje como el producto de su masa y su distancia dirigida desde el eje. Se divide a D en rectángulos pequeños como en la figura 2. Entonces la masa de Rij es aproximadamente ρ(ij, ij), asi que el momento de Rij con respecto al eje se puede aproximarmediante

ij
Si ahora se suman estas cantidades y se toma el limite cuando el numero de subrectangulos se vuelve grande, se obtiene el momento de toda la lamina respecto al eje x:

Mx=

De manera similar, el momento respecto al eje y es
My=


Como antes, se define el centro de masa (xˉyˉ) tal que mxˉ=My y myˉ=Mx. El significado físico es que la lamina secomporta como si toda su masa se encontrara en su centro de masa. Asi, la lamina se equilibra horizontalmente cuando se apoya en su centro de masa (véase figura 4).



Las coordenadas (xˉ,yˉ) del centro de masa de una lamina que ocupa la región D y que tiene función de densidad ρ(x,y) son


Donde la masa esta dada por


EJEMPLO 2 Encuentre la masa y el centro de masa de una laminatriangular con vértices (0,0), (1,0), y (0,2) si la función de densidad es





SOLUCION El triangulo se muestra en la figura 5. (Note que la ecuación de la cota superior es ). La masa de la lamina es


Entonces las formulas en (5) dan






El centro de masa esta en el punto .

EJEMPLO 3 La densidad en cualquier punto sobre una lamina semicircular es proporcional a la distancia desdeel centro del circulo. Encuentre el centro de masa de la lamina.



SOLUCION Coloque la lamina como la mitad superior del circulo (véase figura 6). Entonces la distancia de un punto ( al centro del circulo (el origen) es . Por lo tanto, la función de densidad es

Donde K es alguna constante. Tanto la función de densidad como la forma de la lamina hacen pensar que se convierta a...