Integraci N Por Fracciones Parciales

INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

Una guía para obtener la descomposición en fracciones parciales de P(x)/Q(x)
1. Si el grado de P(x) no es menor que el de Q(x) se deben dividir los polinomiospara obtener la forma apropiada.
2. Expresar Q(x) como un producto de factores lineales aix+ b o formas cuadráticas irreducibles ax2+bx+c y agrupar los factores repetidos para que Q(x) quede expresadopor un producto de factores distintos de la forma (ax+b)m o bien (ax2+bx+c)n con m y n enteros no negativos.
3. Aplicar los siguientes casos (Zill,1987)
Caso I. Factores lineales no repetidos

endonde todos los factores (ai + bi), i=1,2,…..,n son distintos y el grado de P(x) es menor que n, entonces existen constantes reales únicas C1, C2, …..Cn tales que


Caso II. Factores linealesrepetidos

En donde n>1 y el grado de P(x) es menor que n, entonces pueden encontrar constantes reales únicas C1, C2, …, Cn, tales que

Caso III Factores cuadráticos irreducibles no repetidos
Se supone que eldenominador de la función racional P(x) /Q(x) se puede expresar como un producto de factores cuadráticos irreducibles distintos si el grado de P(x) es menor que 2n, es posible encontrar constantesreales únicas A1, A2,…..An, B1,B2,…Bn, tales que


Caso IV Factores cuadráticos irreducibles repetidos
Este ultimo caso considera al integrando en donde es irreducible y n>1. Si el grado de P(x) esmenor que 2n, se pueden encontrar constantes reales únicas A1, A2,…..An, B1, B2,……Bn tales que








EJEMPLOS
A continuación se desarrollarán integrales con el método de fracciones parcialesFACTORES LINEALES NO REPETIDOS
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Solución
Primero se observa que el denominador se puede factorizar como (x-4)(x+4) para expresar el integrando de la forma:

Sumando el segundo miembro:

Los denominadoresson idénticos, (multiplica ambos miembros por (x+4)(x-4))

Se realizan las operaciones del segundo miembro

Los coeficientes se igualan como se indica


Resolviendo las ecuaciones simultáneas para...