Integraci N Por Fracciones Parciales1

Universidad de la Frontera

4

Departamento de Matem´
atica y Estad´ıstica
Cl´ınica de Matem´
atica

Integrales por Fracciones Parciales
J. Labrin - G. Riquelme

1.

x dx
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Soluci´
on
El integrando es una funci´on racional, donde todos los factores son irreducibles y distintos. Luego la
descomposici´on en fracciones parciales es:
x dx
A
B
C
=
+
+
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
x+1 x+2x+3
x = A(x + 2)(x + 3) + B(x + 1)(x + 3) + C(x + 1)(x + 2)
2

2

(∗)

2

x = Ax + 5Ax + 6A + Bx + 4Bx + 3B + Cx + 3Cx + 2C
x = (A + B + C)x2 + (5A + 4B + 3C)x + (6A + 3B + 2C)
Luego tenemos que A + B + C = 0, 5A + 4B + 3C = 1 y 6A + 3B + 2C = 0
3
1
Resolviendo dicho sistema de ecuaciones encontramos que: A = − , B = 2 y C = −
2
2
Observaci´
on: Los valores de A, B y C los podriamos habercalculado asigadole valores a x en (∗). Por ejemplo
1
cuando x = −1 tenemos que A = − , cuando x = −2 tenemos que B = 2, y por ´ultimo cuando x = −3 tenemos
2
3
que C = − . Observ´e que para elegir los valores de x se deben priorizar aquellos que anulan la mayor cantidad
2
de factores de la expresi´
on (∗).

Ahora reescribimos la integral que queremos calcular:
x dx
dx
1
3
dx
dx
=−
+2
+−
(x + 1)(x + 2)(x+ 3)
2
x+1
x+2
2
x+3
3
1
= − ln(x + 1) + 2 ln(x + 2) − ln(x + 3) + c
2
2

18

2.

3 + 10x − x2
dx
(x2 − 1)2
Soluci´
on
Comencemos factorizando el denominador:
3 + 10x − x2
dx =
(x2 − 1)2

3 + 10x − x2
dx
(x + 1)2 (x − 1)2

De esta manera tenemos que el integrando es una funci´on racional, donde todos los factores del denominador son irreducibles y lineales repetidos. Luego la descomposici´on enfracciones parciales es:
3 + 10x − x2
A
B
C
D
=
+
+
+
(x + 1)2 (x − 1)2
x + 1 (x + 1)2
(x − 1) (x − 1)2
3 + 10x − x2 = A(x + 1)(x − 1)2 + B(x − 1)2 + C(x − 1)(x + 1)2 + D(x + 1)2
Vemos que cuando cuando x = −1 tenemos que B = −2, cuando x = 1 tenemos que D = 3, cuando
x = 0 tenemos que A + B + C + D = 0 es decir A − C = 2, por u
´ltimo cuando x = 2 tenemos que
3A + B + 9C + 9D = 19 es decir 3A + 9C= 19.
Resolviendo el sistema

A − C =2
, obtenemos que A = 1 y C = −1.
3A + 9C = 19

Ahora reescribimos la integral que queremos calcular:
3 + 10x − x2
dx =
(x + 1)2 (x − 1)2

−1
dx +
(x − 1)
3
2
− ln(x − 1) −
+c
= ln(x + 1) +
x+1
x−1

3.

1
dx +
x+1

−2
dx +
(x + 1)2

3
dx
(x − 1)2

x−8
dx
x3 − 4x2 + 4x
Soluci´
on
Comencemos factorizando el denominador:
x−8
dx =
3
x − 4x2 + 4x

x(x2

x−8
dx
− 4x+ 4)

De esta manera tenemos que el integrando es una funci´on racional, donde todos los factores del denominador son irreducibles y lineales repetidos. Luego la descomposici´on en fracciones parciales es:
A
B
C
x−8
= +
+
x(x2 − 4x + 4)
x
(x − 2) (x − 2)2
x − 8 = A(x − 2)2 + Bx(x − 2) + Cx

19

Vemos que cuando cuando x = 0 tenemos que A = −2, cuando x = 2 tenemos que C = −3, cuando
x = 1tenemos que A − B + C = −7 es decir B = 2.
Ahora reescribimos la integral que queremos calcular:
1
1
dx − 3
dx
(x − 2)
(x − 2)2
3
+c
= −2 ln(x) + 2 ln(x − 2) +
x−2

x−8
dx = −2
(x(x2 − 4x + 4)

4.

1
dx + 2
x

3x3 + 13x + 1
dx
(x2 + 5)2
Soluci´
on
Vemos que el integrando es una funci´on racional cuyo denominador es cuadr´atico irreducible. Luego la
descomposici´on en fracciones parciales es:
Ax + B
Cx +D
3x3 + 13x + 1
= 2
+ 2
2
2
(x + 5)
x +5
(x + 5)2
3x3 + 13x + 1 = (Ax + B)(x2 + 5) + (Cx + D)
3x3 + 13x + 1 = Ax3 + 5Ax + Bx2 + 5BCx + D
3x3 + 13x + 1 = Ax3 + Bx2 + (5A + C)x + 5B + D

Luego tenemos que A = 3, B = 0, 5A + C = 13 y 5B + D = 1
Resolviendo dicho sistema de ecuaciones encontramos que: A = 3, B = 0, C = −2 y D = 1.
Ahora reescribimos la integral que queremos calcular:
3x3 + 13x + 1
dx=
(x2 + 5)2
=

3x
+
+5
3x
−
2
x +5
x2

−2x + 1
(x2 + 5)2
2x
+
2
(x + 5)2

(x2

3
1
1
= ln(x2 + 5) + 2
+ √ ·
2
x +5 2 5

1
+ 5)2

√
x x 5 − x2
arctan +
5
5

+c

3
3x
dx = ln(x2 + 5).
+5
2
2x
1
La segunda integral tambi´en es directa haciendo la sustituci´on x2 + 5 = u, −
.
dx = 2
2
2
(x + 5)
x +5
√
√
En la u
´ltima integral podemos hacer la sustituci´on x = 5 tan z ⇒ dx = 5 sec2 x de este modo...