Integral De L Nea





























Integral de línea

Trayectoria de una partícula a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. En la parte inferior están los vectores del campo vistos por la partícula a medida que viaja por la curva. La suma de los productos escalares de esos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la trayectoria da como resultado la integral de línea.En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,
o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objetoa lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

Definición
Integral curvilínea de un campo escalar

Integral de línea de un campo escalar
Para f: R2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parame trizada como (t)=x (t) y (t) j con t  [a, b], está definida como:Dónde: r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r (b) son los puntos finales de C. Las integrales de trayectoria son independientes de la parametrización r (t), porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de la dirección de la parametrización r (t).
Integral curvilínea de un campo vectorial [editar]Para F: Rn → Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parame trizada como r (t) con t  [a, b], está definida como:

Donde  es el producto escalar y r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r (b) son los puntos finales de C.
Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y cuando las distintasparametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos contrarios.
Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que

Donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real alpar  donde

Es una 1-forma.
Independencia de la curva de integración [editar]
Si el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (o sea, si el campo vectorial F es conservativo), esto es:

Entonces la derivada de la función composición de G y r (t) es:

Con lo cual, evaluamos la integral de línea de esta manera:

La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r (b)y r(a) y es independiente del camino entre a y b.
Por esta razón, un campo vectorial que es el gradiente de un campo escalar, es llamado independiente del camino o también conservativo. Cabe destacar que si tenemos un campo arbitrario; tal que, las derivadas parciales iteradas sean iguales y además sea convexo; entonces este campo es el gradiente de una función potencial φ. Y por lo mencionadoanteriormente la integral de línea del campo es independiente del camino.
COORDENADAS POLARES
Consideremos la región A determinada por las semirrectas =, = y las curvas r=f1 (), r=f2 (), como en la figura 6. Supongamos que A queda incluida por completo en el sector
R: 0 " r " a,  "  " 
Sean m y n dos enteros positivos y hagamos


Cubrimos ahora R por una red de arcos circulares de centro 0 y radios r,2r,….mr. y trazamos por 0 los rayos =, +, +2,…, +n= con ello, R queda dividido en tres tipos de subregiones: a) exteriores de A; b) interiores a A, y c) atravesadas por el contorno de A. Prescindimos que todas las del primer tipo e incluimos todas las del segundo. En cuanto a las del tercero sugerimos un criterio ecléctico, incluyendo algunas, todas o ninguna. Aquellas que hayan de...