Integral Definida

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA. FACULTAD DE TECNOLOGÍAS. INGENIERÍA MECATRONICA. MATEMATICA II

UNIDAD 4: INTEGRAL DEFINIDA

Integral definida como el área bajo una curva.
Dos problemas, ambos geométricos, motivaron las dos más grandes ideas del cálculo. El problema de la
tangente nos condujo a la derivada. El problema del área nos llevará a la integral definida.
Por ejemplo:
Si sequiere calcular el área bajo la función f (x) = 3, en el intervalo comprendido entre x = 0 y x = 4 como se
muestra en la siguiente figura:

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Como se puede dar cuenta el área a la que se hace referencia, es el área de un rectángulo de largo 4 unidades
y ancho 3 unidades, por lo que su área entonces es de 12 u2 .
De la misma manera el área bajo la función f (x) = x en el intervalocomprendido entre x = 0 y x = 6 de acuerdo
a la figura.

El área correspondiente del triángulo es:
En el caso de estos ejemplos surgieron figuras de polígonos cuya fórmula para calcular el área de cada uno de
ellos es conocida. Sin embargo si queremos calcular el área bajo la función f (x) = x2 entre x = 0 y x = 2,

Como se puede observar el área sombreada bajo la curva ya no es un polígono conocidodel cual conozcas su
fórmula para calcular el área.
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El problema de asignar el área bajo una curva como en la figura anterior requiere de otras herramientas, tales
como aproximar el área bajo la curva mediante rectángulos. Dicha aproximación puede ser considerada por
rectángulos circunscritos (es decir, rectángulos por encima de la curva) o por rectángulos inscritos
(rectángulos pordebajo de la curva). Por ejemplo si se considera el rectángulo por encima de la curva de base
2 y altura 4 como se observa en la figura:

El área aproximada sería de 8 u2, que obviamente no es una buena aproximación al área sombreada debido a
que es mayor. Ahora si dividimos el intervalo de 0 a 2 en dos subintervalos de longitud 1, entonces tendríamos
dos rectángulos de base 1 cada uno, peroahora consideremos también alturas diferentes para cada uno tales
como f (1) y f (2), es decir, como f (x) = x2 entonces las alturas de los rectángulos son f (1) = (1)2 =1 y f (2) = (2)2
= 4 respectivamente.

Se observa que las alturas de los rectángulos que están por encima de la curva corresponde a la función
evaluada en el extremo derecho de cada subintervalo. Por lo tanto el áreacorrespondiente es la suma de las
áreas de ambos rectángulos, esto es,

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Como te puedes dar cuenta la aproximación del área es mejor que en el caso anterior. Luego entonces, si este
procedimiento lo continuamos haciendo la aproximación al área va a ser cada vez mejor, es decir, si dividimos
el intervalo de 0 a 2 en n (donde n puede tomar cualquier entero positivo) subintervalos, entonces el área deli-ésimo rectángulo está dada por:
De tal manera que el área aproximada es la suma (que se denota con la letra griega sigma, Σ) de las áreas de
los n rectángulos, y la expresamos por:

Por ejemplo si el intervalo de 0 a 2 lo dividimos en n = 6 subintervalos, entonces cada rectángulo tendría base
de longitud igual a 1/3 (ya que el intervalo es de longitud 2, dividido en 6 partes resultan 6subintervalos de
longitud un tercio) como lo muestra la Figura:

Entonces el área aproximada de acuerdo a la expresión anterior es:

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Como se esperaba la aproximación es mejor que las anteriores. Ahora se puede dividir el intervalo en una
infinidad de subintervalos y no necesariamente del mismo tamaño, es decir, de longitudes diferentes, e
inclusive con rectángulos por debajo de lacurva, donde la altura sería ahora la función evaluada en el extremo
izquierdo de cada subintervalo. Luego entonces el procedimiento anterior lo podemos generalizar bajo el
contexto de límite, tal como se hizo con la derivada. Es decir el área aproximada tanto por debajo de la curva
(ver Figura) como por encima de la misma es:

Esto es, cuando se aproxima un área por rectángulos inscritos y...