INTEGRAL INDEFINIDA 1 2015 01 UDP 1

Universidad Diego Portales
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Vespertina
Ing. en Informática – Ing. en Industria

1° Semestre 2015
Material Docente
Prof.: H. Carreño G.
Asignatura: Calculo II

Material Docente – INTEGRAL INDEFINIDA – Parte 1
1.0.

Función Primitiva e Integral Indefinida
Ya hemos estudiado el problema siguiente: Dada una función F (x) , hallar su derivada, es decir, lafunción F ' ( x) tal que

F ' ( x)  f ( x) . En lo que sigue consideraremos el problema inverso: Dada una función f (x) , se desea hallar una función
F (x) cuya derivada sea igual a f (x) , es decir F ' ( x)  f ( x) .
Definición 1:

Si en todos los puntos del intervalo

a, b  se verifica la ecuación

F´(x)  f ( x) , la función F (x)

se llama primitiva de la función f (x) en dicho intervalo.Ejemplo:

Encuentre una función primitiva de f ( x)  x 2 . De la definición de función primitiva se deduce que la función F ( x) 
una primitiva de la función y  f (x) , puesto que

Nota 1:

x3
es
3

 3
d
 F ( x)   d  x   x 2 .
dx
dx  3 

Es fácil ver que si la función dada f (x) tiene función primitiva, ésta no es única. Así, en el ejemplo citado como funciones
primitivas de lafunción dada podrían figurar las siguientes:
x3
F ( x) 
4,
3
x3
F ( x) 
3,
3
O, en general:
x3
F ( x) 
C
3
(donde C es una constante arbitraria), puesto que
:
3


d x
 C   x2

dx  3


Por otra parte se puede demostrar que las funciones del tipo:

x3
3

 C comprenden todas las funciones primitivas de la función

f ( x)  x . Esto se deduce del siguiente la siguiente Proposición:
2Proposición:

Sí F1 ( x) y F2 ( x) son dos funciones primitivas de la función

y  f (x) en el intervalo

a, b  ,

entonces su diferencia es una constante.
Nota 2:

Del teorema enunciado se deduce que, si conocemos cualquier función primitiva F (x) de la función

f (x) , entonces toda

otra función primitiva de f (x) tiene la forma F ( x)  C , donde C: Cte.
Definición 2:

Si F (x) es una funciónprimitiva de
f (x) y se le designa mediante el símbolo

Nota 3:

f (x) , la expresión F ( x)  C se llama integral indefinida de la función

 f ( x)dx . Así  f ( x)dx  F ( x)  C

, siempre que F´( x)  f ( x) .

En este caso, se llama integrando o función bajo el signo integral; f ( x)dx elemento de integración o expresión bajo el signo de
integral y el símbolo:



signo de integración.

De ladefinición 2, la integral indefinida representa una familia de funciones de la forma

y  F ( x)  C .

Universidad Diego Portales

Definición 3:

Facultad de Ingeniería

 f ( x)dx  F ( x)  C

d
 F ( x)   f ( x)
dx



El significado geométrico de la integral indefinida es un conjunto (familia) de curvas, cada una de las cuales se obtiene mediante el
desplazamiento vertical de una curva así misma, hacia arriba o hacia abajo, es decir, a lo largo del eje OY.

Naturalmente surge una pregunta: ¿toda función f (x) tiene función primitiva y por consiguiente, integral indefinida?. La respuesta
es negativa. Por ejemplo la siguiente integral indefinida no se puede determinar

e

x2

dx . En lo que sigue vamos a estudiar los

métodos que permiten obtener las funciones primitivas y, porconsiguiente, las integrales indefinidas de ciertas funciones
elementales. El proceso que permite hallar la función primitiva de una función f (x) se llama integración de la función.
Nota 4:

De la definición 2 se deduce que:
1.

La derivada de una integral indefinida es igual al integrando, es decir, sí: F´( x)  f ( x) , entonces:

d
dx

  f (x)dx 



d
 F ( x)  C
dx





f ( x)

Estaúltima igualdad significa que la derivada de una primitiva cualquiera es igual al integrando.
2.

La diferencial de una integral indefinida es igual al elemento de integración.

Dx

  f ( x)dx 



f ( x)dx

Esto se deduce de la consecuencia anterior.
3.

La integral indefinida de la diferencial de una función es igual a la suma de esta función y de una constante arbitraria.

 d F ( x)dx



 F...