Integral Indefinida Tema5 205

TEMA 5

MAT II

ANÁLISE (INTEGRACIÓN) 2014 /2015

TEMA V: PRIMITIVAS DUNHA FUNCIÓN

1ª.-DEFINICIÓN DE PRIMITIVA DUNHA FUNCIÓN. CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA.
Dadas dúas funcións f(x) e F(x), definidas nun intervalo I=[a, b], diremos que F(x) é unha
función primitiva de f(x) se a derivada de F(x) é a función f(x) no intervalo I:
F(x) é unha primitiva de f(x) en I  F'(x)=f(x)
Calcular aprimitiva dunha función é o proceso inverso ó de calcular a súa derivada.
Por exemplo : a función cos x é una primitiva da función sen x
a función ln x é una primitiva da función 1/x
Tendo en conta que a derivada dunha constante é cero, podemos afirmar que se una función
F(x) é primitiva de f(x) , calquera función da forma F(x)+C tamén é primitiva de f(x). Logo, se
una función ten una primitiva, teninfinitas primitivas. Ademais se F(x) e G(x) son primitivas
dunha función f(x) diferenciase nunha constante:
F(x) e G(x) primitivas de f(x)  F(x)=G(x)+C
Exemplo: Calcula a primitiva F, da función f(x)=3x2, que pasa polo punto (0, 4)
As primitivas dunha función forman unha familia de curvas desprazadas verticalmente unhas
de outras.
O conxunto de todas as primitivas dunha función f(x), denomínaseintegral indefinida ou
simplemente integral desa función e denótase  f(x)dx , é dicir, se F(x) é unha primitiva de
f(x),

 f(x)dx =F(x)+C ;

C recibe o nome de constante de integración.

A f(x) chámaselle integrando e o símbolo



, símbolo de integración.

Por exemplo  2x dx  x 2  c
2ª.-PROPIEDADES LINEAIS DA INTEGRAL INDEFINIDA.CÁLCULO DE INTEGRAIS INMEDIATAS.
Dado que a integración é o pasoinverso da derivación, tendo en conta algunhas das
propiedades das derivadas obtemos as seguintes propiedades lineais da integral:
 A integral dunha suma de funcións é a suma das integrais

 f  x   g  x   dx   f  x dx   g x dx

 A integral do produto dun número por unha función é igual ó produto do número pola
integral da función
 k .f x dx  k . f x dx

 

 

Tendo en contaa táboa das derivadas das funcións elementais, e a regra da cadea, podemos
elaborar unha táboa de integrais inmediatas

VIRXE DO MAR

1

TEMA 5

MAT II

ANÁLISE (INTEGRACIÓN) 2014 /2015

TÁBOA DE INTEGRAIS INMEDIATAS

 a  dx  ax  C
x n 1
 x dx  n  1  C
n

n  1

1

 x dx  L | x | C

2

1
x

dx  x  C

x
 a dx 

e

x

ax
C
La

dx  e x  C

n 1

u ( x)
C
 u( x)  u' (x)dx 
n

n 1

u ' ( x)

 u( x) dx  L | u( x) | C
u ' ( x)

2

u ( x)

dx  u ( x)  C

u ( x)
 a  u' ( x)dx 

e

u ( x)

a u ( x)
C
La

 u ' ( x)dx  e u ( x )  C

 senxdx   cos x  C

 sen u ( x)  u ' ( x)dx   cos u ( x)  C

 cos xdx  senx  C

 cos u ( x)  u ' ( x)dx  sen u ( x)  C

 sec

 sec

2

xdx  tgx  C

1

1 x



2

dx  arctgx  C

1
1 x2

dx  arcsenx C

2

u ( x)  u ' ( x)dx  tg u ( x)  C

u ' ( x)

 1  u( x) dx  arctg u( x)  C
2



u ' ( x)
1  u ( x)

VIRXE DO MAR

2

dx  arcsen u ( x)  C

2

TEMA 5

MAT II

ANÁLISE (INTEGRACIÓN) 2014 /2015

Exercicios:
1.- Calcula as seguintes integrais:

 5 cos x  3  dx

 3x  5 tan x  dx

x

x

 3tan x  5 cos x  dx

 10

7 2

  3 x  2x  3  dx

1x3
 x 2 dx

x

5x

dx

3
dx
1

x

2

x2 1
 x 2  1 dx
2  3x 2
 x dx



2x
dx
2
1

 x  1

2

dx
x2 1
 3x  5  2
  2  x  1 dx





2.- Determina unha función g(x) que sexa primitiva de f(x)=sen x, e que a súa gráfica pase polo
punto (π, 0)
3.- Calcula f(x) sabendo que f(0)=1, f’(0)=2, e f’’(x)=3x
4.- Encontra a primitiva de f  x  

1
que se anula para x=0
1  3x

5.- De todas as primitivasda función y=4x-6, cal delas toma o valor 4 para x=1?
2

6.- Calcula a expresión dunha función f(x) tal que f’(x)= x .e x e que f(0)=1/2
a
onde a é unha
1x
constante. Determina a función se, ademais, sabemos que f(0)=1 e f(1)=-1.

7.-Dunha función y=f(x), x>-1 sabemos que ten por derivada y  

8.-Encontra

a

2

x  2x
f ' x    x

e  1

función

derivable

f   1,1 

que...