Integrales indefinidad

1.- FUNCIÓN PRIMITIVA. INTEGRAL INDEFINIDA.

La integración es la operación inversa de la derivación.
Dada una función f(x), diremos que F(x) es una primitiva suya si F’(x)=f(x).
Nota: La primitiva de una función no es única; por ejemplo, si f(x)=3x2, entonces F1(x)=x3, F2(x)=x3+2,............etc, son primitivas de f(x).

Propiedad: Si F1(x) y F2(x) son primitivas de una misma funciónf(x), entonces se diferencian en una constante; o sea, F1(x)-F2(x)=cte.
Demostración:

Pues bien, acabamos de ver que si una función f(x) tiene una función primitiva F(x), entonces admite infinitas primitivas, cuyas expresiones serán F(x)+K, siendo K una constante arbitraria. Al conjunto de todas las primitivas de f(x), se le llama integral indefinida de f(x) y se le denota mediante
Por ejemplo:, siendo K una constante arbitraria.
Si existe la integral indefinida de una función, se dice que ésta es integrable.


2.- PROPIEDADES DE LA INTEGRACIÓN.

Las dos propiedades más importantes de la integración son las siguientes:

1) La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las integrales de dichas funciones. O sea,
Demostración: Por unlado .
Por otro lado, csqd.
Igual se demuestra con la diferencia.

2) La integral del producto de un número por una función es igual al producto del número por la integral de dicha función. O sea,
Demostración: Análoga a la anterior.

La utilización de estas dos propiedades constituye el llamado método de descomposición en el que como principio conviene descomponer el integrando lo másposible, aplicando las propiedades anteriores; a veces, conviene hacer un hábil manejo de constantes, sumar y restar una misma cantidad ó multiplicar y dividir por un mismo número.

Ejemplo:

3.- CUADRO DE INTEGRALES INMEDIATAS.


TIPOS
FORMAS

Simples
Compuestas
1. Potencial (n-1)


2. Logarítmico


3. Exponencial


4. Seno


5. Coseno


6. Tangente


7. Cotangente8. Secante


9. Cosecante


10. Arco seno


11. Arco tangente


12. Arco secante




Aunque no son inmediatas, hay algunas que aparecen con mucha frecuencia y conviene saber.
Son las siguientes:



Ejemplos:
1)
2)

3)


4.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE.

Este método es una consecuencia de la derivación de funciones compuestas. Como su nombre indica,se trata de sustituir la variable x por otra variable t mediante una nueva función g tal que x=g(t), para transformar el integrando f(x)dx en otro más sencillo.
De esta manera, dx=g’(t)dt, con lo que quedaría que .
En la práctica se suele hacer de la siguiente manera:
Se hace t=u(t), de donde dt=u’(x)dx y se despejan a continuación x y dx, sustituyéndolos en el integrando.
Si el cambio devariable ha sido bien elegido, la última expresión será más fácil de integrar que la primera. Una vez calculada ésta, se deshace el cambio y tendremos así la integral pedida.

¿Cuándo es aconsejable utilizar este método?

a) Cuando aparezca en el integrando un producto o un cociente de funciones de modo que una de ellas “recuerda” a la derivada de la otra.
Ejemplo:
Hacemos el cambio x2+4x=t ynos quedaría (2x+4)dx=dt. Entonces


b) Cuando el integrando guarda cierto parecido con una integral inmediata.

Ejemplo:
Esta integral guarda cierto parecido con que es inmediata.
Dividiendo en nuestra integral numerador y denominador por 9 nos queda:

Ahora hacemos el cambio de variable , con lo que


c) En algunos casos es necesario comenzar realizando una transformaciónprevia para después aplicar un cambio de variable.

Ejemplo: .

En la segunda integral (*), hacemos el cambio de variable 1-x2=t, con lo que –2xdx=dt y entonces
Por lo tanto,


5.- INTEGRACIÓN POR PARTES.

Este método se basa en la derivada de un producto de funciones.
Sean u y v dos funciones de una misma variable independiente. Entonces
Esta fórmula reduce el cálculo de la...