INTEGRALES INDEFINIDAS

Calculo I
Unidad 1:
Integrales indefinidas

Integrales indefinidas
¿Qué problema motiva
el concepto de integral?
El cálculo integral se basa en el concepto de la integral.
La definición de la integral es motivada por el problema de definir y
calcular el área de la región que se encuentra entre la gráfica de una
función de valores positivos f y el eje x en un intervalo cerrado [a,b].
El área R dela región de la
figura esta´dada por la
integral de f de a a b,
denotada por el símbolo
b

f ( x)
a

Integrales indefinidas
Pero la integral, así como la derivada, es importante debido a su aplicación a
muchos problemas que aparentan tener poca relación con dicha motivación
original: problemas que implican movimiento, velocidad, crecimiento de
poblaciones, volumen, longitud de arco, área de unasuperficie y centro de
gravedad, entre otros.

El teorema fundamental del cálculo proporciona una conexión vital entre las
operaciones de derivación e integración, la que proporciona un método eficaz
para calcular el valor de las integrales. Veremos que en vez de encontrar la
derivada de la función f(x) , necesitamos determinar una nueva función F(x)
cuya derivada sea f(x):

F ' ( x)  f ( x)Antiderivadas o primitivas y problemas con condiciones
iniciales
El lenguaje del cambio es el lenguaje natural para establecer las leyes y
principios científicos.
Por ejemplo la tasa de cambio con respecto al tiempo de una población
con tasas de natalidad y mortalidad constantes es, en muchos casos sencillos,
proporcional al tamaño de la población. Esto es: P (t )
, donde K es la
constante deproporcionalidad.

dP
K P
dt

Los modelos matemáticos de las situaciones del mundo real implican con
frecuencia ecuaciones con derivadas de las funciones desconocidas. Estas
ecuaciones son ecuaciones diferenciales.
El tipo más sencillo de una ecuación diferencial tiene la forma:

dy
 f (x)
dx
donde f es una función dada (conocida) y la función y(x) es desconocida.
El proceso de determinar unafunción a partir de su derivada es opuesto a la
derivación y por ello se llama antiderivación. Si podemos determinar una
función y(x) cuya derivada sea f(x)

y`( x)  f ( x)

Entonces decimos que y(x) es una primitiva ( o antiderivada ) de f(x)

Definición: Antiderivada o primitiva
Una antiderivada o primitiva de una función f es una función F tal que

F `( x)  f ( x)
siempre y cuando f(x) estédefinida.

Algunas antiderivadas de f(x)=3x2

Una sola función tiene muchas
primitivas, mientras que una función sólo
puede tener una derivada

Si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es F(x)+C para cualquier elección
de la constante C

Teorema: La primitiva más general
Si F`(x)=f(x) en cada punto del intervalo abierto I, entonces cada primitiva G de f
en I tiene la forma
G(x)=F(x)+C
donde C esuna constante

Teorema. Dos primitivas de una función real difieren en una constante.
Ejemplo:
Determine al menos tres primitivas de la función

y  f ( x) 4 x 3

Desarrollo: En efecto, las siguientes son primitivas de esta función:

F ( x) x 4  7
F ( x) x 4  10

Estas primitivas difieren en la constante

F ( x) x 4
En general la familia de primitivas de esta función sería:
4

F ( x)  x C

Pues:

,

F ( x) 4 x 3  f ( x)

La colección de todas las primitivas de la función f(x) es conocida como la
integral indefinida de f con respecto a x y se denota

f ( x)dx
Con base en el teorema, escribimos

f ( x)dx F ( x)  C
Por tanto

f ( x)dx F ( x)  C

si y sólo si

F`(x) f(x)

Ejemplo:

1 4
3
x
dx

x C

4

cos xdx sen x  C

Recuerde que la operación de derivación eslineal, lo que significa

D x  cF ( x) cF `( x)



donde c es una constante



D x F ( x)  G ( x) F `( x)  G`( x)
En la notación de antiderivación, esto implica que

cf ( x)dx c f ( x)dx


 f(x) - g(x) dx f(x)dx - g(x)dx

• Existen otras propiedades de la integral
indefinida, que son:
• Si ,
entonces:

• Y además:

En resumen:
Integral Indefinida:
Al hablar de Primitivas...