Integrales indefinidas

 Introducción

El cálculo diferencial desarrolla métodos y aplicaciones que involucran a la derivada de una función conocida. Un proceso natural en el desarrollo histórico de las matemáticas, es dar una continuidad a los conocimientos que ya se disponen. Así, parece razonable estudiar un proceso recíproco al de la derivación.
Hallar una función de la que es conocida su derivada es lo quese conoce habitualmente por Integración. Sin embargo, este proceso adquiere una relevancia sustancial, cuando mediante la Regla de Barrow, es posible relacionar el cálculo de antiderivadas con el de áreas de regiones planas y sólidos de revolución.
En esta unidad se busca profundizar en el proceso recíproco al de la derivación, o cálculo de la integral indefinida.









Integralindefinida


En cálculo infinitesimal, la función primitiva o anti derivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante:si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:
   ó   
El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integraciónindefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.


Constante de integración

La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una primitiva F,si se le suma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre porque (F + C) ' = F ' + C ' = F ' + 0 = F’. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.
Para interpretar el significado de la constante de integración se puede observar el hecho de que la función f (x) es la derivada de otra función F(x), es decir, quepara cada valor de x, f (x) le asigna la pendiente de F (x). Si se dibuja en cada punto (x, y) del plano cartesiano un pequeño segmento con pendiente f (x), se obtiene un campo vectorial como el que se representa en la figura de la derecha. Entonces el problema de encontrar una función F (x) tal que su derivada sea la función f (x) se convierte en el problema de encontrar una función de la gráficade la cual, en todos los puntos sea tangente a los vectores del campo. En la figura de la derecha se observa como al variar la constante de integración se obtienen diversas funciones que cumplen esta condición y son traslaciones verticales unas de otras.

Linealidad de la integral indefinida

La primitiva es lineal, es decir:
1. Si f es una función que admite una primitiva F sobre unintervalo I, entonces para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I eskF.
2. Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitiva de f + g es F + G.
La linealidad se puede expresar como sigue:



La primitiva de una función impar es siempre par

En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo queimplica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.



La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0

En efecto, según la figura, las áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:...