Integral Mat

Preuniversitario

Prof.: Gustavo Gatica U./ggg

ARITMETICA:
IN = {1, 2, 3, 4, ....} NATURALES ; IN0 = { 0, 1, 2, 3, .....} CARDINALES ; Ζ = {...-2, -1, 0, 1, 2, ...} ENTEROS.
Q={

a
/a , b ∈ζ , b ≠ 0 } RACIONALES. ;Q'= {x/x no tiene representación periódica} I ≡ IRRACIONALES.
b

IR = REALES = Q U Q'.
DECIMALES PERIODICOS:

B
BC
BC - B
; A, AB = A
decimales infinitos periódicos.A, BC = A
;
9
99
90
BCD - BC
A, BC D = A
decimales infinitos periódicos.
900

A, A = A

PROPORCIONES:
A : B = C : D SSI A*D = B*C
Composición : A : B = C : D ssi (A + B) : B = (C + D) : D
Descomposición: A : B = C : D ssi (A - B) : B = (C - D) : D
Media proporcional: A y B ===> A : X = X : B
Tercera proporcional : A y B ===> A : B = B : X ó B : A = A : X
Cuarta proporcional: A,B y C ===> A : B = C : X (cada una de estas se puede escribir de 8 formas diferentes,
todas equivalentes entre sí).
Proporc. directa: X : Y = A : B X = Au é Y = Bu , para algún u, X é Y son D. proporcional si X = kY, entonces
X
crece si Y crece ó X decrece si Y decrece.
Si ocurre que X : Y : Z = A : B : C entonces

XYZ
= = = k , entonces X = Ak ; Y = Bk ; Z = Ck.
ABC

Proporc. inversa:X e Y son I. proporcional si X =

k
, entonces X crece si Y decrece ó X decrece si Y crece.
Y

Proporc. compuesta: X es D. Proporcional a Y é Inversamente proporcional a Z, entonces X =
proporcionalidad.

Porcentajes:
cantidad total

100%

cantidad parcial % parcial

A% de X ===>

A
*x
100

Desigualdades:
A ∈ IR + → A > 0 ; A ∈ IR − → A > 0 ; si A > B ==> A + C > B + C
SiA > B ==> A*C > B*C , C > 0 y A > B ==> A*C < B*C, C < 0
Si A ∈ IR + → A > 0 ; |x| ≤ A ⇔ - A ≤ x ≤
Si |x| ≥ A ⇔ -A ≥ x ∨ x ≥ A .

kY
k: constante de
Z

n

x

POTENCIAS:

= x * x * x * x ..... x (n veces) ; x1 = x ; x0 = 1 con x ≠ 0 ; 00 no está definida.

Propiedades:

n

m

x *x =x

n+m

n

m

;x :x =x

xn
m
) ; ( xn ) = xn* m
y

n
n
x : y =(

n

RAICES:

;

n- m
;

(

1

-n
x=

x

n
n
n
x * y = (x * y ) ;

n;

x -n
yn
) =( )
y
x

x = y ⇔ x = yn
n

n

Propiedades:

n

n

n

a * b = a* b ;

n

n

a =( a

n

) =a ;

n

n

m

a
a : b=
; a n b = n an b
b
n

n

a =( a

m

) =a

n
m

;

;

n

m
m* k
a = n* k a

n

a=a
;

n :k

a

1
n

n :k

= n amPRODUCTOS NOTABLES y FACTORIZACION:

(x ± y )2 = x 2 ± 2xy + y 2 ; (x + y)(x - y) = x 2 - y

2

;

(x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab ;

(x ± y )3 = x 3 ± 3 x 2 y + 3x y 2 ± y 3 ; (a + b + c )2 = a 2 + b2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac
3
2
3
2
x ± y = (x ± y)( x m xy + y )

RACIONALIZACION DE DENOMINADORES:

a
n

a

m

=

n

a
n

a

m

*

n

a
b

n-m
n-mb -c d
a
a
*
=
b -c d
b +c d
b +c d

;

ECUACION DE 2º GRADO:
- b ± b 2 - 4ac
; ∆ = b 2 - 4ac discriminante.
ax + bx + c = 0 ; x =
2a
2

Si > 0 las raíces o soluciones de la ecuación son reales y distintas.
Si = 0 las raíces o soluciones de la ecuación son reales e iguales.
Si < 0 las raíces o soluciones son complejas conjugadas.
Propiedades de las Raices:

x1 + x 2 =

-bc
∧ x1 * x 2 =
a
a

ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS:
x
y
a = a ↔ x = y log p x = log p y ↔ x = y ;

log a * b = log a + log b ;

log

x
a = y ↔ loga y = x , a > 0 ∧ a ≠ 1

log p y
a
= log a - log b ; log x y =
b
log p x

; log x n = n * log x

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COMPLEJOS:

z = (a , b) = a + bi ; z 1 = (a , -b) ; z -1 = (

z= z*

z1

z1
;
| z1 |

a
-b
, 2 2 ) ; -z = (-a , -b) ; |z| =
2
a +b a +b
2

2
2
a +b

4n
4n+1
4n+2
4n+3
i =1 ; i =i ; i = -1 ; i = -i

GEOMETRIA:

Sean a y b ángulos, se tiene que:
Si a + b = 90, entonces son ángulos complementarios.
Si a + b = 180, entonces son ángulos suplementarios.
Si a y b son adyacentes entonces tienen un lado común, vértice común y los...