Integral riemann

CAP´ ITULO 1

INTEGRACION
1.1. La Integral como L´ ımite de Sumas. Sea f : [a, b] → R continua. Sea {xk }n una partici´n del intervalo [a, b], es o k=1 decir x0 = a < x1 < x2 < ...... < xn−1 < xn = b. Elijamos para k = 0, 1, 2, ..., n − 1 ck ∈ [xk , xk+1 ]. Definimos la Suma de Riemann de f para la partici´n {xk }n y esta elecci´n o o k=1 de los ck por
n−1

S = S(f, {xk }n , {ck }n ) = k=1k=1
k=0

f (ck )(xk+1 − xk ).

Para la partici´n {xk }n se define su norma por o k=1 ∆x =
k=0,1,..,n−1

max

|xk+1 − xk |.

El Teorema siguiente, que no demostraremos en estas notas, nos permite entre muchas otras cosas definir ´rea. a Teorema 1.1.1. Sea f : [a, b] → R continua. Entonces existe un n´mero que u denotamos por
b

f (x)dx,
a

y que llamamos la integral de f sobre [a,b], tal que
n−1 ∆x→0 b

lim

f (ck )(xk+1 − xk ) =
k=0

f (x)dx.
a

Observaci´n: Hacemos notar que el l´ o ımite existe en el sentido siguiente:
1

2

1. INTEGRACION

Para todo

> 0 existe δ > 0 tal que
n−1 b

∆x < δ ⇒ |
k=0

f (ck )(xk+1 − xk ) −

f (x)dx| <
a

sin importar cual sea la partici´n {xk }n , siempre que ∆x < δ, ni cuales puntos o k=1 ck ∈ [xk , xk+1 ] seelijan. Una consecuencia del Teorema anterior es que para calcular una integral, de una funci´n continua, como l´ o ımite de sumas basta tomar una sucesi´n de particiones con o las normas tendiendo a cero y las sumas de Riemann correspondientes tender´n a a la integral. Ilustramos esto con el ejemplo siguiente. Ejemplo: Calcular, como l´ ımite de sumas,
b a

x2 dx.

Para n ∈ N tomaremos lapartici´n, equidistribuida, o b−a para k = 0, 1, ..., n. xk = a + k n Hacemos notar que en este caso ∆x = b−a . n Elegiremos ck como el extremo izquierdo de cada intervalo, es decir b−a para k = 0, 1, ..., n − 1. ck = a + k n La suma de Riemann correspondiente es:
n−1

Sn =
k=0

(a + k

b − a 2b − a ) . n n

Por lo tanto
n−1

Sn =
k=0

a2

b−a + n

n−1

2ak
k=0

(b − a)2 +n2

n−1

k2
k=0

(b − a)3 . n3

Recordando, de C´lculo I, que a
n−1

1 = n,
k=0 n−1

k=
k=0

(n − 1)n 2

´ ´ 1.2. INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA INTEGRAL.

3

y
n−1

k2 =
k=0

(n − 1)n(2n − 1) 6

se obtiene Sn = a2 (b − a) + a(b − a)2 (n − 1) (n − 1)n(2n − 1) + (b − a)3 . n 6n3

Haciendo ∆x → 0, es decir haciendo n → ∞, se obtiene 1 lim Sn = a2 (b − a) + a(b −a)2 + (b − a)3 , 3
b a

n→∞

o sea x2 dx = b3 a3 − . 3 3

1.2. Interpretaci´n Geom´trica de la Integral. o e

350

En el caso que f (x) ≥ 0 para x ∈ [a, b] b la integral a f (x)dx es, por definici´n o de ´rea, el ´rea bajo el gr´fico de f soa a a bre el intervalo [a, b]. Las sumas de Riemann, que son la suma de las ´reas de los a rect´ngulos, son por supuesto aproximaa ciones a dicha ´rea.Ver figura 1. a

300 250 200 150 100 50 0 3 3.2 3.4 x 3.6 3.8 4

Fig. 1

0.2

En el caso general la integral es el ´rea signada ”bajo” el gr´fico de f a a ”sobre” el intervalo [a, b]. En la figura b 2 la integral a f (x)dx es la suma del ´rea a que est´ sobre el eje OX menos el ´rea a a que est´ bajo el eje OX. a

b a f (x)dx

2.2 2.4 2.6 2.8 0 –0.2 –0.4 –0.6

x 3

3.2 3.4 3.6 3.84

Fig. 2

4

1. INTEGRACION

8 6

Por ejemplo, en el caso de una funci´n imo par sobre un intervalo sim´trico [−a, a] se e tiene a f (x)dx = 0
−a

4 2 –2 –1 –2 –4 –6 –8 1 x 2

ya que la ´reas se cancelan. Ver figura 3. a

Fig. 3

1.3. Sumas superiores e inferiores. Eligiendo ck tal que ¯ f (¯k ) = c
x∈[xk ,xk+1 ]

max

f (x)

60 50 40 30 20 10 0 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 x3.2 3.4 3.6 3.8 4

se tiene lo que se llama una suma superior
n−1

¯ S=
k=0

f (¯k )(xk+1 − xk ). c

En este caso se tiene siempre
b a

¯ f (x)dx ≤ S.

Ver figura 4. Eligiendo ck tal que f (ck ) =
n−1 x∈[xk ,xk+1 ]

Fig. 4 (Sumas superiores)

min

f (x)

60 50 40 30 20 10 0 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 x 3.2 3.4 3.6 3.8 4

se tiene lo que se llama una suma inferior S=
k=0

f (ck...