La Integral De Riemann

La Integral de Riemann
Facultad de Ingenier´ıa y Ciencias. Universidad Adolfo Ib´an
˜ez
Nicol´as Abarz´
ua Cisternas
Julio, 2011

1.

Suma Superior y Suma Inferior

Definici´
on 1.1 Sea [a, b] ⊂ R un intervalo. Una partici´on del intervalo [a, b]
es un subconjunto finito de punto P = {t0 , t1 , . . . , tn } ⊂ [a, b] tal que a ∈ P y
b ∈ P . Sin perdida de generalidad podemos suponer que si P = {t0, t1 , . . . , tn }
es una partici´on de [a, b] entonces a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b.
El intervalo [ti−1 , ti ] con i = 1, . . . , n se llama intervalo i-´esimo de la partici´on
P y mide ti − ti−1 .
Observaci´
on 1.1 Si P = {t0 , t1 , . . . , tn } es una partici´on de [a, b] entonces
es claro que
n

(ti − ti−1 ) = b − a
i=1

Ejemplo 1.1 P = {0, 31 , 21 , 78 , 1} es una partici´on de [0,1].
Ejemplo 1.2 Q = {0, 215 , 214 , 213 , 212 , 12 , 1} es una partici´on de [0, 1].
Definici´
on 1.2 Sean P y Q particiones del intervalo [a, b]. Diremos que Q
refina a P o que Q es un refinamiento de P si y solo si P ⊆ Q.
Ejemplo 1.3 Q = {0, 215 , 214 , 213 , 212 13 , 21 , 78 , 1} es una partici´on de [0, 1] que es
un refinamiento de P = {0, 215 , 214 , 213 , 212 , 12 , 1}.

1

Observaci´
on 1.2Sea f : [a, b] −→ R una funci´on acotada. Denotamos por
M = Sup{f (x) : x ∈ [a, b]}
m = Inf {f (x) : x ∈ [a, b]}
De esta forma se tiene que m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b].
Sea P = {t0 , t1 , . . . , tn } una partici´on de [a, b] entonces f es acotada en cada
intervalo i-´esimo de la partici´on. Luego para cada i = 1, . . . , n, denotamos
por
Mi = Sup{f (x) : x ∈ [ti−1 , ti ]}
mi = Inf {f (x): x ∈ [ti−1 , ti ]}
Definici´
on 1.3 Sea f : [a, b] −→ R una funci´on acotada y P = {t0 , t1 , . . . , tn }
una partici´on de [a, b]. Definimos la suma superior de f relativa a la partici´on
P como
n
Mi (ti − ti−1 )

S(f, P ) =
i=1

y la suma inferior de f relativa a la partici´on P como
n

mi (ti − ti−1 )

s(f, P ) =
i=1

Observaci´
on 1.3 Es claro que si f : [a, b] −→ R es una funci´on acotaday
P = {t0 , t1 , . . . , tn } una partici´on de [a, b] entonces
m(b − a) ≤ s(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ M (b − a)
Ejemplo 1.4 Sea f : [0, 1] −→ R definida por
f (x) =

0 : si x es racional
1 : si x es irracional

Entonces para cualquier partici´on P de [0, 1] se tiene que s(f, P ) = 0 y
S(f, P ) = 1.
Ejemplo 1.5 Sea g : [a, b] −→ R definida por g(x) = c (funci´on constante
c). Entonces para cualquierpartici´on P de [a, b] se tiene que s(g, P ) = c(b−a)
y S(f, P ) = c(b − a).

2

Observaci´
on 1.4 Sea f : [a, b] −→ R una funci´on acotada tal que f (x) ≥ 0
para todo x ∈ [a, b]. Si R es la regi´on del plano acotada por el gr´afico de f
en [a, b], las rectas x = a, x = b y el eje x y A(R) es el ´area de la regi´on
R entonces para cualquier partici´on P de [a, b], S(f, P ) y s(f, P ) representanvalores apr´oximados de A(R), es decir se tiene que s(f, P ) ≤ A(R) y
A(R) ≤ S(f, P ).
Teorema 1.1 Sea f : [a, b] −→ R una funci´on acotada, P y Q particiones
de [a, b]. Si Q es un refinamiento de P entonces se tiene que s(f, P ) ≤ s(f, Q)
y S(f, Q) ≤ S(f, P ).
Demostraci´
on 1.1 Supongamos inicialmente que la partici´on Q = P ∪{r}
con P = {t0 , t1 , . . . , tn }. Sin perdida de generalidad podemossuponer que
ti−1 < r < ti para alg´
un i = 1, . . . , n. Sean m y m los ´ınfimos de f en los
intervalos [ti−1 , r] y [r, ti ] respectivamente. Entonces es claro que mi ≤ m ,
mi ≤ m y que ti − ti−1 = (ti − r) + (r − ti−1 ), por lo tanto
s(f, Q) − s(f, P ) = m (ti − r) + m (r − ti−1 ) − mi (ti − ti−1 )
= (m − mi )(ti − r) + (m − ti )(r − ti−1 )
≥ 0
Lo que equivale a decir que s(f, P ) ≤ s(f, Q)). Parobtener el resultado
general, a P le agregamos k puntos y usamos k veces lo anterior demostrado.
De manera an´aloga se prueba que S(f, Q) ≤ S(f, P ).
Corolario 1.1 Sea f : [a, b] −→ R una funci´on acotada, P y Q particiones
arbitrarias de [a, b] entonces s(f, P ) ≤ S(f, Q).
Demostraci´
on 1.2 Consideremos la partici´on R = P ∪Q de [a, b] entonces
R es un refinamiento de P y de Q, decir P ⊆ R y Q...