integrales coordenadas polares y de linea

Cambio a coordenadas polares en una integral doble

Si deseamos integrar función definida dentro de una región , generalmente lo haríamos evaluando la integral doble

sobre la región deintegración que definiríamos utilizando los métodos que hemos visto antes en coordenadas rectangulares. Un problema que puede presentarse seria si se deseara trabajar con ciertas figuras circulares (p.ej.círculos, paraboloides, elipsoides, etc.), la definición de su región de integración se vuelve algo complicada.
Una forma en la que nos facilitamos el trabajo es el trabajar para coordenadas polares, dadoque estas se adecuan de mejor manera a las formas circulares.
Recordemos las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con rectangulares



Entonces, haciendo esta transformación, tendríamos queahora la región esta definida como

el diferencial de área se definiría como

y la integral quedaría como




Teorema

Si es continua en un rectángulo dado por , donde entonces,




Ejemplo # 1recordatorio Evaluar:

donde R es la región del semi-plano superior limitado por los círculos


y .




Ejemplo # 2

Calcular el volumen de un sólido que está debajo del paraboloide , encima del planoy dentro del cilindro .






complementando al cuadrado:













Ahora procedemos a integrar:






Ejemplo # 3
Encuentre la masa y el centro de masa de un triangulo con vértices en .Densidad











Integrales de línea

La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para talesaplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.
En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso deuna curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también

INTEGRAL DE CONTORNO.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
El cálculo de la longitud de una curva en el...