Integrales dobles y aplicaciones

Funciones reales de dos variables y sus Aplicaciones 1. Calcule los dominios respectivos de cada una de las funciones: a) f (x, y) = ln(1 + x + y)

ln(1 + x + y) ≥ 0 1+x+y >0 y > −1 − x Dom{(x, y) R2 /y > −1 − x} b) g(x, y) = 1 − x2 − 5y 4

1 − x2 − 5y4 ≥ 0 −x2 − 5y4 ≥ −1 Dom{(x, y) R2 / − x2 − 5y 4 ≥ −1} c) h(x, y) = √ y cos x ∨ [y ≤ 0 ∧ cosx ≤ 0]
(2(k+1)+1)π , 2

y cos x ≥ 0 [y ≥ 0 ∧cosx ≥ 0]

( 2k+1 )k < x < ( 2(x+1)+1 )π 2 2 ⇒ {y ≥ 0, ((2k+1)+1)π < x < 2 (2(k+1)+1)π k es par} 2 d ) i(x, y) = ln(y ln(1 + x + y)) [y > 0 ∧ ln (1 + x + y) > 0] ∨ [y < 0 ∧ ln (1 + x + y) < 0] 1+x+y >0 y > −1 − x {(x, y) ∈ R/y > 0 ∧ y > −1 − x} ∪ {y < 0 ∧ −1 − x < y < −x} e) j(x, y) = 1 1 − x2 − y 2 k es impar} ∪ {y ≤ 0, ((2k+1)+1)π < x < 2

1 − x2 − y 2 > 0 1 > x2 + y 2 ∪ = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y2 < 1} 2. En cada uno de los ejercicios se da un conjunto A de puntos en el plano R2 . Diga en cada caso si el conjunto dado es abierto, cerrado o no es abierto ni cerrado, justificando su respuesta. Haga una gr´fica que muestre el conjunto dado en el plano xy a a) A = {(x, y)/|x| + |y| < 1} b) A = {(x, y)/y = x} 1

c) A = {(x, y)/y < x2 } d) A = {(x, y)/(x2 + y 2 − 4)(1 − x2 − y 2 ) > 0} 3. Digasi las funciones siguientes son iguales: a) f (x, y) = b) f (x, y) = ln c) f (x, y) = |sgn(x + y)| 4. Demuestre que el l´ ımite a) f (x, y) =
(x,y)−→(0,0)

x y

√ x g(x, y) = √ y g(x, y) = ln x2 − ln y 4

x2 y4

g(x, y) = sgn(x + y)

l´ ım

f (x, y) de las siguientes funciones no existe.

x4 y x8 + y 2 Un camino podr´ ser: y = 0, en donde tendr´ ıa ıamos: x4 y 0 = l´ ım 2 = 0 8 +y2 x−→0 x (x,y)−→(0,0) x l´ ım

Otro camino puede ser: x =

√ 4

y en donde tendr´ ıamos:

x4 y y2 y2 1 l´ ım = l´ ım = l´ ım = 8 + y2 y−→0 y 2 + y 2 y−→0 2y 2 (x,y)−→(0,0) x 2 Como se aprecia, para dos caminos diferentes se obtienes l´ ımites diferentes, lo cual implica que no existe el indicado l´ ımite. b) f (x, y) = 8x3 y 2 x9 + y 3 Un camino podr´ ser: y = 0, en donde tendr´ ıa ıamos:8x3 y 2 0 = l´ ım =0 9 + y3 x−→0 x9 (x,y)−→(0,0) x l´ ım Otro camino puede ser: x = l´ ım √ 4 y en donde tendr´ ıamos:

y2 y2 1 8x3 y 2 = l´ ım 2 = l´ ım = 9 + y3 2 2 y−→0 y + y y−→0 2y (x,y)−→(0,0) x 2 2

Como se aprecia, para dos caminos diferentes se obtienes l´ ımites diferentes, lo cual implica que no existe el indicado l´ ımite. c) f (x, y) = y3x y 6 + x2 y3x x2 x2 1 = l´ ım 2 = l´ ım =6 + x2 2 2 x−→0 x + x x−→0 2x (x,y)−→(0,0) y 2 l´ ım Otro camino puede ser: y = 0 en donde tendr´ ıamos: y3x 0 = l´ ım 2 = 0 6 + x2 y−→0 x (x,y)−→(0,0) y l´ ım Como se aprecia, para dos caminos diferentes se obtienes l´ ımites diferentes, lo cual implica que no existe el indicado l´ ımite. d ) f (x, y) = x4 y 4 (x2 + y 4 )3 x4 y 4 0 = l´ ım 2 = 0 2 + y 4 )3 x−→0 x (x,y)−→(0,0) (x l´ ım Otrocamino puede ser: x = y 2 en donde tendr´ ıamos: x4 y 4 y 12 y 12 1 = l´ ım 4 = l´ ım = 3 4 )3 12 y−→0 (y + y y−→0 8y (x,y)−→(0,0) (x2 + y 4 ) 8 l´ ım Como se aprecia, para dos caminos diferentes se obtienes l´ ımites diferentes, lo cual implica que no existe el indicado l´ ımite. e) f (x, y) = 2xy 2 − x2 x2 − y 2 Un camino podr´ ser: y = 0, en donde tendr´ ıa ıamos: −x2 2xy 2 − x2 = l´ ım 2 = −1 x−→0x (x,y)−→(0,0) x2 − y 2 l´ ım Otro camino puede ser: x = y 2 en donde tendr´ ıamos: 2x2 − x2 x2 x 2xy 2 − x2 = l´ ım = l´ ım = l´ ım =0 2 − y2 x−→0 x2 − x x−→0 x(x − 1) x−→0 x − 1 (x,y)−→(0,0) x l´ ım Como se aprecia, para dos caminos diferentes se obtienes l´ ımites diferentes, lo cual implica que no existe el indicado l´ ımite. 3

Un camino podr´ ser: x = y 3 , en donde tendr´ ıa ıamos:

Uncamino podr´ ser: y = 0, en donde tendr´ ıa ıamos:

5. En los ejercicios siguientes diga en d´nde la funci´n dada es cont´ o o ınua justificando en cada caso su respuesta : a) f (x, y) = 2x + 3y 5 x2 + y 2 + 1 Tanto el numerador como el denominador son polinomios, adem´s el denoma inador nunca ser´ igual a 0 a Por lo tanto la funci´n es continua en R2 . o 2 2 x −y b) f (x, y) = 2 x + y2 Como...