INTEGRALES INDEFINIDAS

Calculo I
Unidad 1:
Integrales indefinidas

Integrales Trigonométricas
Son integrales de la forma:
m
n
sen x cos xdx

Son utiles las transformaciones:





k

m
2 k 1
m
2
sen x cos xdx sen x cos x cos xdx





k

sen m x 1  sen 2 x cos xdx

sen

2 k 1



n



k

x cos xdx   sen x cos n x sen xdx



2

2



k

 1  cos x cos n x sen xdx

Ejercicio: Determine
3
2
sen x cosxdx

5
cos xdx

C) Si las potencias del seno y coseno son pares a la vez, aplicamos las
identidades del ángulo medio
1
sen 2 x  (1  cos 2 x)
2

1
cos 2 x  (1  cos 2 x)
2

A veces es útil emplear la identidad

1
senx cos x  sen 2 x
2
Ejercicio: Determine
2
sen 3xdx

2
2
sen x cos xdx

Cómo evaluar

m
n
tan
x
sec
xdx


a) Si la potencia de la secante es par



m
2k
m
2
tan x sec xdx tan x sec x



k 1



 tan m x 1  tan 2 x

sec 2 xdx



k 1

sec 2 xdx

A continuación se sustituye u=tanx
b) Si la potencia de la tangente es impar

 
sec x  1
A continuación se sustituye
u=secx
k

2 k 1
n
2
n 1
tan x sec xdx  tan x sec x sec xtanxdx
2

Ejercicio: Determine

k

sec n  1 x sec xtanxdx

3
2
tan x sec xdx

6
sec 2xdx

Obs: Si n es impar y m es par, todo elintegrando se expresa en términos de
secx. Es posible que las potencias de secx requieran integración por partes.

Ejercicio:
Pruebe que

sec xdx ln sec x  tanx  C
3
sec xdx 

1
sec xtanx  ln secx  tanx   C
2

Obs: Integrales de la forma cot m x csc n xdx se pueden determinar con
métodos semejantes, a causa de la identidad 1+cot2x=csc2x

¿Y cómo calculamos las
integrales del tipo senmxcos nxdx
Para evaluar las integrales

sen mx cos nxdx

sen mx sen nxdx

cos mx cos nxdx

se emplean las identidades correspondientes

a)
b)
c)
Ejercicio: Determine

1
 sen( A  B)  sen( A  B)
2
1
senAsenB   cos( A  B )  cos( A  B)
2
1
cosAcosB   cos( A  B )  cos( A  B)
2
senAcosB 

sen 5 x sen 2 xdx

cos 3x cos 4 xdx

Sustitución trigonométrica
A menudo es efectivo el métodode sustitución trigonométrica al trabajar con
integrales que contienen en sus integrandos ciertas expresiones algebraicas
tales como

a2  x2

a2  x2

x2  a2

En general, podemos efectuar una sustitución de la forma x=g(t) aplicando la regla de
sustitución al revés. Para simplificar nuestras operaciones, supondremos que g tiene
una función inversa; esto es, que es biyectiva. En este caso, sireemplazamos u por x y
x con t en la regla de sustitución, llegamos a

f(x)dx  f(g(t))g´(t)dt
A este tipo de cambio se le llama sustitución inversa

2

2

2
Para calcular a a2 x xdx
dx
¿Qué sustitución aplicamos?

Podemos aplicar la sustitución inversa x=asen,
siempre que restrinjamos  al intervalo [-/2,
/2]
Expresión
a2  x2

Sustitución


x asen
-  
2
2

Identidad
1 - sen 2 cos2 



 
2
2

a2  x2

x atan

-

x2  a2

x asec

0  


2

1  tan 2 sec 2 

o   

3
2

sec 2   1 tan 2

Obs: En cada caso, se impone la restricción sobre  para asegurar que la función
que define a la sustitución sea biyectiva
Ejercicio: Determine las siguientes integrales



x3
1 x

2

dx,

donde x  1

1

(4 x 2  9) 2 dx
x 2  25
dx
 x

x sen

x

x 5

3
tan2

x 5sec

Integrales que contienen polinomios cuadráticos
Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una potencia negativa
de un polinomio cuadrático ax2+bx+c se pueden simplificar mediante el
proceso de completar el cuadrado.
Por ejemplo
x 2  2 x  2 ( x  1) 2  1
y por tanto, con la sustitución u=x+1, du=dx, se obtiene

1
1
1
1
dx

du

tan
u

C

tan
( x  1)  C

2
2
x  2x 2
u 1



En general, el objetivo es convertir
ax2+bx+c en una suma o en una diferencia
de cuadrados u 2  a 2 o a 2 -u 2
para que se pueda usar el método de
sustitución trigonométrica

Integral Indefinida: Integración de funciones racionales

Integración de Funciones Racionales mediante
Fracciones Parciales
¿Cómo integrar una
función racional fraccionaria?
Expresándola como una suma de...