interpolacion hermite en scilab

RECUERDO DE LA CLASE ANTERIOR:
• DIFERENCIAS DIVIDIDAS CENTRADAS
– Fórmula para nodos no equidistantes
– Fórmula para nodos equidistantes
– Ejemplo de aplicación

ANS-115

1

EN ESTA CLASE:
• INTERPOLACIÓN DE HERMITE
– Teorema del Polinomio de Hermite
• Ejemplo de aplicación

– Tabla de diferencias divididas para el polinomio de
Hermite
• Ejemplo de aplicación

– AlgoritmoALG033
• Ejemplo de aplicación
Recuerde que se debe convertir a Scilab cualquier
programa Matlab mencionado.

ANS-115

2

TEOREMA DEL POLINOMIO DE HERMITE
Si f  C1  a, b  y si x0 , x1 ,..., xn   a, b  son distintos, el polinomio
único de menor grado que concuerda con f y f ' en x0 , x1 ,..., xn , es el
polinomio de Hermite de grado a lo más 2n  1 que está dado por
n

n

j 0j 0

ˆ
H 2 n 1 ( x)   f ( x j ) H n , j ( x)   f '( x j ) H n , j ( x)
donde
H n , j ( x)  1  2( x  x j ) L 'n , j ( x j )  L2 , j ( x)

 n
y
ˆ
H n , j ( x)  ( x  x j ) L2 , j ( x)
n
ANS-115

3

Dentro de este contexto Ln , j ( x) denota el j -ésimo polinomio de
Lagrange de grado n definido anteriormente en la ecuación
( x  x0 )( x  x1 )...( x  xk 1 )( x xk 1 )...( x  xn )
Ln ,k ( x) 
( xk  x0 )( xk  x1 )...( xk  xk 1 )( xk  xk 1 )...( xk  xn )
Más aún, si f  C 2 n  2  a, b  entonces para x   a, b 
( x  x0 ) 2 ...( x  xn ) 2 (2 n  2)
f ( x)  H 2 n 1 ( x) 
f
( ),
(2n  2)!
para alguna  con a    b.
ANS-115

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EJEMPLO 1. Utilice el polinomio de Hermite que concuerda con los
datos de la tabla siguiente paraobtener una aproximación de f (1.5).
k

xk

f ( xk )

f '( xk )

0

1.3

0.6200860

-0.5220232

1

1.6

0.4554022

-0.5698959

2

1.9

0.2818186

-0.5811571

Primero, se calcula los polinomios de Lagrange y sus derivadas:
( x - x1 )( x - x2 )
50 2 175
152
L2,0 ( x) 

x 
x
,
( x0  x1 )( x0  x2 ) 9
9
9
100
175
L '2,0 ( x) 
x
;
9
9ANS-115

5

( x - x0 )( x - x2 )
100 2 320
247
L2,1 ( x) 

x 
x
,
( x1  x0 )( x1  x2 )
9
9
9
200
320
L '2,1 ( x) 
x
;
9
9
( x - x0 )( x - x1 )
50 2 145
104
L2,2 ( x) 

x 
x
,
( x2  x0 )( x2  x1 ) 9
9
9
100
145
L '2,2 ( x) 
x
.
9
9
ANS-115

6

ˆ
Así, los polinomios H 2, j ( x) y H 2, j ( x) son
152 
 50 2 175
H 2,0 ( x)  1  2( x 1.3)(5)   x 
x

9
9
9 

152 
 50 2 175
 (10 x  12)  x 
x

9
9
9 

247 
 100 2 320
H 2,1 ( x)  1. 
x 
x

9
9
9 


2

2

2

145
104 
 50
H 2,2 ( x)  10(2  x)  x 2 
x

9
9
9 

175
152 
 50
ˆ
H 2,0 ( x)  ( x  1.3)  x 2 
x

9
9
9 


2

2

247 
 100 2 320
ˆ
H 2,1 ( x)  ( x  1.6) 
x 
x
9
9 ANS-115 9 


2

7

2

ˆ ( x)  ( x  1.9)  50 x 2  145 x  104  .
H 2,2


9
9
9 

Finalmente,
H 5 ( x)  0.62008860 H 2,0 ( x)  0.4554022 H 2,1 ( x)  0.2818186 H 2,2 ( x)
ˆ
ˆ
ˆ
-0.5220232H 2,0 ( x)  0.5698959 H 2,1 ( x)  0.5811571H 2,2 ( x)
y
 4 
 64 
5
H 5 (1.5)  0.62008860    0.4554022    0.2818186  
 27 
 81 
 81 
 4  32 
 2 
-0.5220232 
  0.5698959 
  0.5811571

 405 
 405 
 405 
H 5 (1.5)  0.5118277.
un resultado cuya exactitud corresponde con 7 cifras decimales.
ANS-115

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Aunque el teorema del polinomio de Hermite proporciona una
descripción completa de los polinomios de Hermite, en el ejemplo 1
se comprueba lo siguiente:
La necesidad de determinar y evaluar lospolinomios de Lagrange y
sus derivadas hace tedioso el procedimiento, aun para valores pequeños de n. Otro método para generar las aproximaciones de Hermite
tiene como base la fórmula de diferencias divididas interpolantes de
Newton para el polinomio de Lagrange en x0 , x1 ,..., xn ,
n

Pn ( x)  f  x0    f  x0 , x1 ,..., xk  ( x  x0 )( x  x1 )...( x  xk 1 ),
k 1

y la conexión...