interpolacion segmentaria























Índice:

Introducción_____________________________________3

Definición_______________________________________3

Tipos___________________________________________3

Spline Lineal_____________________________________3

Spline Cuadrática_________________________________5

Spline Cubica____________________________________5

Ejemplo de interpolación segmentarialineal____________7

Ejemplo de interpolación segmentaria cuadrada_________8

Ejemplo de interpolación segmentaria cubica ___________10

Conclusión______________________________________12

Bibliografía______________________________________13

Interpolación segmentaria o splines
Introducción
En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediantepolinomios.
En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado.
Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximarformas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador.
Definición
El término "spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado decurvas. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias dimensiones.
Las funciones para la interpolación por splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de restricciones.
Tipos
Interpolación con splines de grado 1 - Spline lineal
Interpolación con splines de grado 2 - Spline cuadrática
Interpolación con splines de grado 3 - Splinecúbica

Spline Lineal
Los splines de grado 1 son funciones polinomiales de grado 1 (Rectas de la forma f(x)=ax+b) que se encargan de unir cada par de coordenadas mediante una recta.
Dados los n+1 puntos:

Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos (Par coordenados) mediante segmentos de recta, como se ilustra en las siguientes figuras:

Claramenteesta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. Así, se tiene que para este caso:

Spline Cuadrática
Los polinomios P(x) a través de los que construimos el Spline tienen grado 2. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax² + bx + c
Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N son los puntos sobre los que se define la función). Lainterpolación cuadrática nos va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos P(x) va a ser continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio, vamos a determinar cómo condiciones:
Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estospuntos.
Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.
Esto sin embargo no es suficiente, y necesitamos una condición más. ¿Por qué? Tenemos 3 incógnitas por cada P(x). En un caso sencillo con f(x) definida en tres puntos y dos ecuaciones P(x) para aproximarla, vamos a tener seis incógnitas en total. Para resolver estonecesitaríamos seis ecuaciones, pero vamos a tener tan sólo cinco: cuatro que igualan el P(x) con el valor de f(x) en ese punto (dos por cada intervalo), y la quinta al igualar la derivada en el punto común a las dos P(x).
Se necesita una sexta ecuación, ¿de dónde se extrae? Esto suele hacerse con el valor de la derivada en algún punto, al que se fuerza uno de los P(x).

Spline Cubica
Cada...