Introduccion a Los Procesos Estocasticos

Introducción a los Procesos
Estocásticos
La teoría de los procesos estocásticos se centra en el estudio y modelización de sistemas que evolucionan a lo largo del tiempo, o del espacio, de acuerdo a unas leyes no
determinísticas, esto es, de carácter aleatorio.
La forma habitual de describir la evolución del sistema es mediante sucesiones o colecciones de variables aleatorias. De esta manera,se puede estudiar cómo evoluciona una v.a.
a lo largo del tiempo. Por ejemplo, el número de personas que espera ante una ventanilla
de un banco en un instante t de tiempo; el precio de las acciones de una empresa a lo
largo de un año; el número de parados en el sector de Hostelería a lo largo de un año.
La primera idea básica es identificar un proceso estocástico con una sucesión de v.a.
{Xn ,n ∈ N} donde el subíndice indica el instante de tiempo (o espacio) correspondiente.
Esta idea inicial se puede generalizar fácilmente, permitiendo que los instantes de
tiempo en los que se definen las v.a. sean continuos. Así, se podrá hablar de una colección o
familia de v.a. {Xt , t ∈ R}, que da una idea más exacta de lo que es un proceso estocástico.
Se tenía que una v.a. X (s) es unafunción que va desde un espacio muestral S a la
recta real, de manera que a cada punto s ∈ S del espacio muestral se le puede asociar un
número de la recta real.
De este modo, la probabilidad de cada suceso de S se puede trasladar a la probabilidad
de que un valor de X (v.a.) caiga en un cierto intervalo o conjunto de números reales. Si
a todo esto se le añade una dimensión temporal, se obtiene unproceso estocástico.
La definición formal es la siguiente:

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Definición (Proceso Estocástico)
Dado el espacio de probabilidad (Ω, a , P ) de modo que para todo t ∈ T ⊂ R fijo
Xt : (Ω, a , P ) −→ (R, B)
w
−→ Xt (w) ∈ R
esto es, Xt es una variable aleatoria y ∀w ∈ Ω fijo, X• (w) es una función del tiempo.
Ejemplos:
Xt : número de personas que esperan un autobús en un instante t donde t ∈[9, 10]
Xt : precio de una acción de una empresa en un día t del mes (t = 1, 2, . . . , 30).
Xt : número de parados en el mes t (t = 1, 2, . . . , 12).
Para que un proceso estocástico esté completamente definido hay que determinar completamente las v.a., es decir, determinar e identificar la distribución de probabilidad asociada a cada una de ellas y, es más, la distribución conjunta de todasellas.
Definición
Al conjunto T ⊂ R de subíndices se le denomina conjunto paramétrico y puede ser
continuo o numerable.
De este modo aparece una primera clasificación en procesos estocásticos de parámetro
continuo o de parámetro discreto.

Definición
Se denomina conjunto de estados E, al conjunto de los posibles valores que pueden
tomar las v.a. {Xt }t∈R
Nota : En general, se piensa en elsubíndice t como el indicativo del tiempo y en Xt como
el estado o posición del proceso estocástico en el instante t.
Ejemplo: Se lanza una moneda varias veces. Supóngase que cada vez que sale cara,
un jugador gana 1 unidad y si sale cruz pierde 1 unidad. Se puede definir un proceso
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estocástico que modeliza la evolución del juego. Así, si se denomina Xn al número de
unidades monetarias quequedan después de n lanzamientos, el espacio muestral de Xn es
Ω = {n-uplas de c y +}
de modo que el cardinal (el número de elementos) del conjunto es
#Ω = 2n
y el álgebra que se define es

a

= P (Ω), esto es, las partes de Ω (todos los posibles

subconjuntos que se pueden formar en Ω).
Consideramos a todas las posibles n-uplas equiprobables: P (w) = 1/2n .
Es un proceso discreto, porqueel conjunto paramétrico es T = {1, 2, 3, . . .} y el posible
conjunto de estados es
E = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 . . .}
Podemos estudiar la trayectoria de X (w ):
Sea n = 6 y fijo, por ejemplo, w = (c, c, +, +, +, +) , esto es,
X1 (w) = 1
X2 (w) = 2
X3 (w) = 1
X4 (w) = 0
X5 (w) = −1
X6 (w) = −2

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

-1

-2

Ahora, si fijamos...