investigación

3 Análisis de residuos. Gráficos.
Como se ha indicado anteriormente, el análisis de los residuos es básico para chequear si se verifican las hipótesis del modelo de regresión. Por ello, a continuación se exponen las propiedades matemáticas de los mismos. Considérese el modelo de regresión lineal múltiple

Los residuos mínimo-cuadráticos vienen dados por

o en forma matricialComo  = H, siendo H = X-1Xt la matriz de proyección ortogonal. Es fácil probar que la matriz H es idempotente  y simétrica . En base a esto

=  - =  -H =  =  

= X +  -HX -H =  ,
donde se utilizó que HX = X. Se calcula la matriz de varianzas de los residuos,

Por tanto, ei es una variable aleatoria con distribución

(9.9)

donde hii es el valor de influencia de i. que mide la “distancia estadística”de i. a . Un residuo “grande” indica que la observación está lejos del modelo estimado y, por tanto, la predicción de esta observación es mala. Las observaciones con residuos grandes se denominan observaciones atípicas o heterogéneas (outliers).
Como los residuos tienen varianza variable y son dimensionados (tienen las unidades de la variable Y ), normalmente se tipifican

(9.10)

los residuostipificados siguen una distribución normal estándar, pero como 2 es desconocido, se sustituye por su estimador, la varianza residual  R2 y se obtienen los residuos estandarizados, definidos como

(9.11)

Por la hipótesis de normalidad los residuos estandarizados siguen una distribución t con n- grados de libertad. Como ya se indicó en el estudio del modelo de regresión lineal simple, en elcáluco de ri existe el problema de que hay una relación de dependencia entre el numerador y el denominador de ri. Para evitar ésto, con mayor esfuerzo computacional, se calcula para cada i, i = 1,...,n, el estimador  R,, la varianza residual del modelo de regresión obtenido a partir de la muestra en la que se ha eliminado la observación . Ahora se definen los residuos estudentizados como

(9.12)Los residuos estudentizados siguen una distribución t con  - grados de libertad. Si el tamaño muestral es grande, los residuos estandarizados y los estudentizados son casi iguales y muy informativos, pudiéndose considerar grandes los residuos estandarizados tales que  > 2.
Con los residuos estandarizados o estudentizados se pueden construir los siguientes gráficos de interés, muchos de los cualesya han sido comentados,

El gráfico de dispersión matricial, de todas las variables del modelo (respuesta y regresoras). En el estudio de un modelo de regresión lineal múltiple es el primer gráfico que se debe observar. Proporciona una primera idea de la existencia de relación lineal o de otro tipo entre la respuesta y las regresoras y también da una idea de posibles relaciones lineales entrelas variables regresoras, lo que crea problemas de multicolinealidad.
El gráfico de dispersión matricial para los datos del Ejemplo 7.1. se representa en la Figura 9.2.

Figura 9.2. Gráfico matricial con los datos del Ejemplo 7.1.

El histograma de los residuos, que sirve para observar la existencia de normalidad, simetría y detectar observaciones atípicas.

El gráfico probabilístico denormalidad (p-p y q -q) y el gráfico de simetría, que permite contrastar la normalidad (simetría) de la distribución de los residuos.

El gráfico de residuos  frente a las predicciones , que permite detectar diferentes problemas:

Heterocedasticidad, la varianza no es constante y se deben de transformar los datos (la variable Y ) o aplicar mínimos cuadrados ponderados.

Error en el análisis, seha realizado mal el ajuste y se verifica que los residuos negativos se corresponden con los valores pequeños  i y los errores positivos se corresponden con los valores grandes de  i, o al revés.

El modelo es inadecuado por falta de linealidad y se deben de transformar los datos o introducir nuevas variables que pueden ser cuadrados de las existentes o productos de las mismas. O bien se...